R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
wobei wir die Spatproduktregel (1.24) für
O
n
a
R
r i r’ i
S
Abbildung 6.10: Zum Satz von Steiner
(�ri × �n) 2 = (�ri × �n) · (�ri × �n)
= �ri · [�n × (�ri × �n)]
b
= �ri · [�ri (�n · �n) − �n (�n · �ri)] = r 2 i − (�n · �ri) 2
ausgenutzt haben. Nach Abb. 6.10 gilt �ri = � R + �r ′
i und wir erhalten für Gleichung (6.61)
Θ�a =
=
N�
i=1
N�
i=1
mi
mi
�� � �
′ 2
�R + �r i × �n
� �2 �R × �n +
N�
i=1
mi
�
�r ′
�2 � �
i × �n + 2 �R × �n ·
N�
i=1
mi
�
�r ′
�
i × �n
Der letzte Term verschwindet aufgrund der Definition des Massenzentrums �
denn
� � N� �
2 �R × �n · mi �r ′
�
� � �
N�
i × �n = −2 �R × �n · �n × mi�r ′
�
i = 0 .
i=1
Dann ergibt sich der Satz von Steiner:
Θ�a = Θ� b + M
� �2 �R × �n
i=1
i
.
mi�r ′
i = �0,
. (6.62)
| � R × �n| ist der senkrechte Abstand des Schwerpunkts von der Achse �a durch den Ursprung
(siehe Abb. 6.10).
Analog verfahren wir mit dem Trägheitstensor (6.51):
214
Θij =
N�
α=1
� � 2
mα rαδij − rα,irα,j . (6.63)