R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

m
Z
l
y
φ
K= mge
2
Abbildung 3.2: Pendel im Schwerefeld
3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwerefeld
In der Bewegungsgleichung unterscheiden wir zwischen äußeren Kräften und Zwangskräften
und setzen an
m ¨ �r = � K + � Z . (3.5)
Auf die Masse m wirkt die Schwerkraft � K und eine durch den Faden ausgeübte unbekannte
Zwangskraft � Z. Die Zwangskraft � Z in dieser Gleichung ist zunächst unbekannt, obwohl wir
die Zwangsbedingungen (3.4) kennen.
Die Zwangsbedingungen (3.4) können elegant eliminiert werden, wenn man den Winkel φ im
Bezug zur Ruhelage φ = 0 (siehe Abb. 3.2) als neue Koordinate benutzt. Die Bogenlänge des
Pendels ist dann durch s = lφ gegeben. Die durch die Gravitation in Richtung des Bogens
wirkende Rückstellkraftkomponente FR = −mg sin φ ist konservativ, da sie als Ableitung
des Potentials V (φ) = mgl(1 − cos φ) darstellbar ist:
FR = − dV
ds
dV
= −1
l dφ
x
= −mg sin φ . (3.6)
(Die Konstante mgl im Potential wird aus mathematischer Bequemlichkeit dazu addiert,
siehe unten (3.12).)
Die kinetische Energie des Pendels ist durch T = m( ˙x 2 + ˙y 2 )/2 gegeben. Mit (Abb. 3.2)
x = l sin φ , y = l cos φ (3.7)
ergibt sich ˙x = l(cos φ) ˙ φ , ˙y = −l(sin φ) ˙ φ ,
so dass T = m
2 l2φ˙ 2 m
=
2 ˙s2 .
Die Gesamtenergie ist dann
E = T + V = m
2 l2 ˙ φ 2 + mgl(1 − cos φ) = const. (3.8)
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