R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.13.2 Reibungskräfte und Dissipationsfunktion
Reibungskräfte haben wir bereits in Kap. 2.5.1 kennengelernt.
Wir beginnen die Diskussion wieder bei Gleichung (3.91)
� �
d ∂T
−
dt ∂ ˙qj
∂T
= Qj , j = 1, . . . , s .
∂qj
Nun spalten wir die verallgemeinerte Kraft
in einen konservativen Anteil Q (k)
j
konservative Anteil
Qj = Q (k)
j
+ Q(r)
j
und die verallgemeinerte Reibungskraft Q (r)
j
Q (k)
j
= − ∂V
∂qk
i=1
(3.242)
auf. Der
lässt sich aus einem Potential ableiten. Für die verallgemeinerte Reibungskraft erhalten wir
gemäß Gleichung (3.86)
Q (r)
j =
N�
�F (r)
i · ∂�ri
(3.243)
∂qj
und können diese aus den Reibungskräften � F (r)
i in natürlichen Koordinaten berechnen.
Mit der Lagrange-Funktion L = T − V folgt dann für (3.91)
� �
d ∂L
−
dt ∂ ˙qj
∂L
∂qj
= Q (r)
j , j = 1, . . . , s . (3.244)
Damit kann man prinzipiell die Bewegungsgleichungen bestimmen; allerdings ist die Berechnung
der verallgemeinerten Reibungskräfte oft aufwendig.
Verwenden wir den allgemeinen Ansatz (2.80)
dann folgt für (3.243)
Mit der Hilfsformel (3.83)
�F (r)
i
∂�vi
∂ ˙
qj
= −Ki (vi) �vi
Q (r)
j
= −
= ∂�ri
∂qj
folgt Q (r)
j = −
126
N�
i=1
,
N�
i=1
vi
, i = 1, . . . , N , (3.245)
Ki (vi) �vi
·
vi
∂�ri
∂qj
Ki (vi) �vi
vi
· ∂�vi
∂ ˙
qj
.
.