R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegung
4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegung
Wir betrachten jetzt das spezielle Wechselwirkungspotential
V (r) = − α
,
r
mit α = const. (4.33)
Dieser Fall ist von fundamentaler Bedeutung, da es sowohl für die Gravitationswechselwirkung
zweier Massen mit α = Gm1m2 als auch für die Coulombwechselwirkung zweier Ladungen
mit α = −q1q2 gilt. Für das effektive Potential (4.23) erhalten wir dann
Gleichung (4.29) reduziert sich in diesem Fall auf
φ − φ0 = l
Mit der Substitution u = 1/r ′
r ′
= 1
u
φ − φ0 = l
� 1
r 0
1
r
und
Veff = l2 α
− . (4.34)
2µr2 r
� r
r0
r ′ 2
�
2µ
dr ′
�
E − l2
2µr ′ 2
erhalten wir daraus mit
dr ′
du
= − 1
u 2
du
� �
2µ E − l2u2 �
2µ + αu
=
� 1
r 0
1
r
α +
r ′
� . (4.35)
du
�
−u2 + 2αµu
l2 + 2µE
l2 . (4.36)
Das in (4.36) auftretende Integral lösen wir mit dem in der Integraltafel von Gradshteyn und
Ryzhik (1965, Formeln 2.26 und 2.261) angebenen Integral
für die Funktion
In unserem Fall ist
�
R(x) = a + bx + cx 2
dx
� = −
R(x) 1 2cx + b
√ arcsin √ . (4.37)
−c −∆
a = 2µE
l 2 , b = 2αµ
so dass ∆ = − 8µE
l2 − 4α2 µ 2
l4 mit ∆ = 4ac − b 2 < 0 .
l2 und c = −1 ,
= −4µ
l2 �
2E + α2 µ
l2 �
< 0 .
Unter Verwendung von (4.37) erhalten wir dann für Gleichung (4.36)
⎡
⎢
φ − φ0 = − ⎢
⎣arcsin 2αµ
l2 − 2u
�
4µ
l2 �
2E + α2 µ
l2 ⎤ 1
r0 ⎡
⎥
�⎦
= ⎣arcsin
1
r
αµ
l2 − u
�
2µE
l2 + α2 µ 2
l4 ⎤
⎦
1
r
1
r 0
. (4.38)
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