R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
1.6.1 Abstand zweier Punkte
1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
Der Abstandsvektor zwischen zwei Punkten P1 mit dem Ortsvektor �r1 = (x1, y1, z1) und P2
mit dem Ortsvektor �r2 = (x2, y2, z2) ist gegeben durch
�a = �r2 − �r1 = (x2, y2, z2) − (x1, y1, z1) = (x2 − x1, y2 − y1, z2 − z1) . (1.34)
Der Betrag des Abstandsvektors ist dann
�
a = |�a| =
1.6.2 Geradengleichung und Ebenengleichung
(x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2 + (z2 − z1) 2 . (1.35)
Die Punkte A und B seien durch ihre Ortsvektoren �a und � b (siehe Abb. 1.9) gegeben. Wie
lautet die Gleichung der Geraden durch die Punkte A und B?
y
a
A
b
b a
Abbildung 1.9: Geradengleichung
Die Gerade durch die Punkte A und B ist parallel zum Abstandsvektor �b − �a, und sie geht
durch den Punkt A. Für jeden Ortsvektor �x eines Punktes X auf der gesuchten Geraden gilt
dann
� �
�x = �a + λ �b − �a , (1.36)
wobei λ eine beliebige reelle Zahl ist.
Sind nur ein Punkt P mit dem Ortsvektor �a und ein Richtungsvektor �u gegeben, so lautet
die Punkt-Richtungs-Form der Geradengleichung
B
x
X
x
�xG = �a + λ�u , (1.37)
wobei wieder λ eine beliebige reelle Zahl ist.
Gibt man außer dem Ortsvektor �a und dem Richtungsvektor �u noch einen zweiten Richtungsvektor
�v vor, so kann man dadurch eine Ebene im Raum genau festlegen. Für alle Punkte in
dieser Ebene gilt die Punkt-Richtungs-Form der Ebenengleichung
wobei k und t beliebige reelle Zahlen sind.
�xE = �a + k�u + t�v , mit �u �= �v , (1.38)
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