R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

a
b
ψ
c = aε
4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
a
y
r
Q
φ
O x
Abbildung 4.11: Zur Ableitung der Kepler-Gleichung
Als nächstes umschreiben wir die Ellipse durch einen Kreis mit dem Radius a, und projizieren
den Punkt P (definiert durch r und φ) auf den Kreis im Punkt Q. Der Winkel ∠(a, x) = ψ
wird als exzentrische Anomalie bezeichnet. Es gilt
Mit Gleichung (4.69) folgt
sin ψ = � 1 − cos 2 ψ =
Aus diesen Beziehungen folgt
�
cos ψ =
1 −
x + aɛ
a
(x + aɛ)2
a 2
=
P
x
. (4.70)
�
1 −
�
1 − y2
b2 �
= y
b
. (4.71)
x = a(cos ψ − ɛ) (4.72)
und y = b sin ψ = a � 1 − ɛ2 so dass r
sin ψ, (4.73)
2 = x 2 + y 2 =
�
2
a (cos ψ − ɛ) 2 + � 1 − ɛ 2� sin 2 �
ψ
= a 2 � cos 2 ψ − 2ɛ cos ψ + ɛ 2 + sin 2 ψ − ɛ 2 sin 2 ψ �
= a 2 � 1 − 2ɛ cos ψ + ɛ 2 � 1 − sin 2 ψ ��
= a 2 [1 − ɛ cos ψ] 2 ,
oder r = a(1 − ɛ cos ψ) . (4.74)
Jetzt benötigen wir noch den Zusammenhang zwischen den Winkeln ψ und φ. Aus
p
r(φ) =
1 + ɛ cos φ = a � 1 − ɛ2� 1 + ɛ cos φ
folgt ɛr cos φ = a � 1 − ɛ 2� − r . (4.75)
Wir addieren auf beiden Seiten ɛr:
ɛr(1 + cos φ) = (1 − ɛ) [a(1 + ɛ) − r]
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