R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
x
z
φ
z
r
ρ
Ebene z=const.
Ebene φ=const.
Zylinder ρ=const.
y
Kegel θ=const.
x
z
θ
φ
r
r
Kugelr=const.
Ebene φ=const.
Abbildung 1.13: Koordinatenflächen und Koordinatenlinien für Zylinderkoordinaten
und Kugelkoordinaten
Durch Berechnung des Spatprodukts mit Gleichung (1.23)
�
�
� cos φ
�eρ · (�eφ × �ez) = �
�−
sin φ
� 0
sin φ
cos φ
0
�
0�
�
0�
�
1�
= cos2 φ + sin 2 φ = 1
lässt sich sofort überprüfen, dass die Zylinderkoordinaten ein orthogonales Koordinatensystem
mit variablen Einheitsvektoren bilden.
Aufgrund der Variabilität der Einheitsvektoren folgt für die totalen zeitlichen Ableitungen
d�eρ
dt
= ∂�eρ
∂ρ
dρ ∂�eρ dφ ∂�eρ dz
+ +
dt ∂φ dt ∂z dt
= 0 + (− sin φ, cos φ) ˙ φ + 0 = ˙ φ�eφ , (1.72)
d�eφ
dt = 0 + (− cos φ, − sin φ) ˙ φ + 0 = − ˙ φ�eρ (1.73)
d�ez
dt
= 0 . (1.74)
Gleichungen (1.72)-(1.74) stimmen mit dem allgemeinen Ergebnis
d�ej
dt
⊥ �ej
(1.75)
überein, das sofort aus �ej · �ej = const. durch Differentiation nach t folgt:
y
d�ej
dt · �ej = 0 . (1.76)
Abschließend berechnen wir den Geschwindigkeitsvektor und den Beschleunigungsvektor in
Zylinderkoordinaten. Gegeben sei der Ortsvektor eines Punkts auf der Bahnkurve �r(t) =
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