R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Mit
�rα = � R + �r ′
α
oder rα,i = Ri + r ′
folgt Θij =
=
=
N�
α=1
N�
α=1
mα
mα
α,i
�
�
δij
δij
3�
k=1
� 3�
6.4 Trägheitstensor und Hauptachsentransformation
k=1
�
Rk + r ′
�2 �
α,k − Ri + r ′
� �
α,i Rj + r ′
�
α,j
�
R 2 k +
3�
k=1
r ′ 2
α,k + 2
− RiRj − r ′
α,ir ′
α,j − Rir ′
α,j − Rjr ′
α,i
N�
α=1
+
mα
N�
α=1
�
δij�r ′ 2
α − r ′
α,ir ′
�
α,j
mα
�
2δij
3�
k=1
+
N�
α=1
mα
3�
k=1
�
�
δij
Rkr ′
α,k
3�
k=1
Rkr ′
′
α,k − Rir α,j − Rjr ′
α,i
�
R 2 k − RiRj
�
�
. (6.64)
Die erste Summe in Gleichung (6.64) identifizieren wir mit dem neuen Trägheitstensor
bezüglich des Schwerpunkts,
Iij ≡
N�
α=1
mα
�
δij�r ′ 2
α − r ′
α,ir ′
�
α,j
. (6.65)
Man beachte, dass dieser Tensor die gleiche formale Struktur wie der Tensor (6.63) hat.
In der dritten Summe von Gleichung (6.64) treten immer Summen der Art � ′
α mαr α auf,
die aufgrund der Schwerpunktsbedingung � ′
α mα�r α = �0 alle verschwinden.
Damit verbleibt
Θij = Iij + M � δijR 2 �
− RiRj , (6.66)
oder Iij = Θij − M � δijR 2 �
− RiRj , (6.67)
was oft als Verallgemeinerung des Steinerschen Satzes bezeichnet wird.
6.4.4 Beispiel des Würfels
Zur Illustration des Steinerschen Satzes behanden wir noch einmal den in Kap. 6.4.1 betrachteten
homogenen Würfel mit einer Ecke im Ursprung (siehe Abb. 6.8).
Im Folgenden bezeichnen wir mit Xi die alten Achsen und mit xi die Schwerpunktachsen
(siehe Abb. 6.11)
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