R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.10.3 Das Brachistochronen-Problem
Es soll diejenige Kurve gefunden werden, die zwei Punkte verbindet und längs der ein Teilchen
in der kürzesten Zeit unter dem Einfluss der Schwerkraft fällt. Das Teilchen mit der Masse
m ist anfangs im Punkt 1 in Ruhe und fällt von dort zum niedrigeren Punkt 2 (siehe Abb.
3.9).
ge x
1
x
Abbildung 3.9: Illustration des Brachistochronen-Problems
Die Fallzeit ist durch das Wegintegral
t12 =
� 2
1
2
ds
v
y
(3.136)
gegeben, und die konstante, nach unten gerichtete Schwerkraft ist konservativ, so dass der
Energiesatz T + U = const. gilt.
Wir messen das Potential U von der Höhe x = 0 aus (d.h. U(x = 0) = 0), und wegen
v(x = 0) = 0 ist die anfängliche kinetische Energie T (x = 0) = 0, so dass immer gilt
Mit
T + U = 0 . (3.137)
U = −mgx
und T = mv2
2
folgt
mv2 oder
2
v
=
=
mgx
� 2gx . (3.138)
Wir erhalten dann mit Gleichung (3.127) für die Fallzeit (3.136)
100
t12 =
� 2
1
ds
√ 2gx =
=
� 2
1
� 2
1
�
dx2 + dy2 √
2gx
�
dx
� �2 dy
dx
1 +
√
2gx
= 1
√ 2g
� 2
1
dx
�
1 + y ′ 2
x
� 1/2
. (3.139)