R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

7.1 Die Lorentz-Transformation
Die Gleichung (7.6) gilt für unabhängige Werte von x und t, so dass die Koeffizienten vor
x 2 , t 2 und xt einzeln verschwinden müssen:
a 2 − c 2 e 2 = 1 , (7.7)
b 2 − c 2 f 2 = −c 2
(7.8)
und ab − c 2 ef = 0 , (7.9)
so dass wir drei Gleichungen für vier Unbekannte (a, b, e, f) haben.
Die vierte Bestimmungsgleichung folgt aus der Bedingung, dass zur Zeit t = 0 die Nullpunkte
der Koordinatensysteme zusammenfallen. Dies impliziert, dass die Position des Ursprungs O ′
durch x ′
= 0 oder x = V t gegeben ist. Nach Gleichung (7.5a) heißt das
0 = aV t + bt ,
oder b = −V a . (7.10)
Ebenso ist die Position des Ursprung O durch x = 0 oder x ′
= −V t ′
den Gleichungen (7.5)
gegeben, so dass nach
−V t ′
= 0 + bt , t ′
= 0 + ft ,
woraus sofort folgt b = −V f . (7.11)
Der Vergleich der Gleichungen (7.10) und (7.11) liefert dann
a = f . (7.12)
Setzen wir das Ergebnis (7.11) in Gleichung (7.8) ein, so erhalten wir
V 2 f 2 − c 2 f 2 = −c 2 ,
oder f 2 =
mit γ ≡
und mit Gleichung (7.12) gilt
c2 c2 1
=
− V 2 V 2
1 − c2 = γ 2 ,
� �−1/2 1 − . (7.13)
V 2
c 2
a = f = γ . (7.14)
In der Definition (7.13) haben wir die positive Wurzel gewählt, damit wir für kleine (V ≪ c
so dass γ � 1) Relativgeschwindigkeiten aus den Transformationen (7.5) wieder die Galilei-
Transformation (2.16) erhalten.
Aus den Gleichungen (7.11) und (7.14) folgt weiterhin
und Gleichung (7.9) liefert
b = −V γ . (7.15)
e = b γ
= −V . (7.16)
c2 c2 239