R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Inhaltsverzeichnis
0 Einleitung 1
0.1 Vorbemerkung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1 Vektorrechnung 3
1.1 Grunddefinitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.1 Skalare und Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.1.2 Einheitsvektor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2 Vektoroperationen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1 Addition von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.2 Subtraktion von Vektoren und Nullvektor . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.3 Multiplikation von Vektoren mit Skalaren . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.4 Skalarprodukt von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.2.5 Kreuzprodukt von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3 Komponentendarstellung von Vektoren in kartesischen Koordinaten . . . . . . 8
1.4 Spatprodukt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.5 Transformation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.6 Anwendungen der Vektorrechnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.1 Abstand zweier Punkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.2 Geradengleichung und Ebenengleichung . . . . . . . . . . . . . . . . 15
1.6.3 Kosinussatz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.6.4 Überlagerung von Kräften . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7 Differentiation und Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.1 Differentiation von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.7.2 Integration von Vektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8 Koordinatensysteme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.1 Koordinatenlinien und Koordinatenflächen . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.8.2 Festlegung von Einheitsvektoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.8.3 Beispiel: Zylinderkoordinaten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1.9 Vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.1 Gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.9.2 Der Nabla-Operator � ∇ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.9.3 Divergenz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
1.9.4 Rotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.10 Rechenregeln für vektorielle Differentialoperatoren . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10.1 Summenregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
1.10.2 Produktregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
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