R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
3.4.4 Bemerkung zu Zwangsbedingungen
Die holonome Zwangsbedingung G(x, y, z, t) = 0 kann auch in differentieller Form definiert
werden: Eine beliebige Zwangsbedingung
a1dx + a2dy + a3dz + a4dt = 0 (3.58)
heißt holonom, falls es eine Funktion G : IR 4 → IR 1 gibt mit
∂G
∂x = a1 ,
∂G
∂y = a2 ,
∂G
∂z = a3 ,
∂G
∂t = a4 ,
und G(x, y, z, t) = 0 . (3.59)
Ist a4 = 0, ist sie skleronom und für das totale Differential von G gilt
dG = ∂G
∂x
dx + ∂G
∂y
Ist a4 �= 0, ist sie rheonom und für das totale Differential von G gilt
dG = ∂G
∂x
dx + ∂G
∂y
dφ
∂G
dy + dz . (3.60)
∂z
dy + ∂G
∂z
R
ds= Rdφ
∂G
dz + dt . (3.61)
∂t
Abbildung 3.4: Abrollen eines Rads auf einer festgelegten Geraden
Ein Beispiel für eine skleronome Zwangsbedingung ist das in Abb. 3.4 dargestellte Abrollen
eines Rads auf einer festgelegten Geraden:
80
ds − Rdφ = 0 , (3.62)