R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Nach Einführung der kanonisch konjugierten Impulsvektoren (3.197) der einzelnen Massenpunkte
erhalten wir
N�
i=1
�pi = ∂L
∂ ˙ �ri
d
dt �pi = d
dt
N�
i=1
�pi = d
dt � P = 0
oder � P = const. (3.208)
Q.E.D.
Der Gesamtimpuls des Systems bleibt erhalten, was im Allgemeinen nicht für die Einzelimpulse
gilt.
Bemerkung: Es kann vorkommen, dass die Lagrange-Funktion nur in einer Richtung, z.B.
der �e3-Richtung, translationsinvariant ist. Dann dürfen die infinitesimalen Verschiebungen δ�r
nur in die �e3-Richtung vollzogen werden, d.h.
�
N� N� N�
�
N�
∂L ∂L ∂L
∂L
δL = (0, 0, δz) · , , = δz = 0 .
∂xi ∂yi ∂zi
∂zi
i=1
Da δz �= 0 und beliebig ist, erhalten wir
i=1
i=1
i=1
i=1
N� ∂L
= 0 , (3.209)
∂zi
so dass nur die z-Komponente des Gesamtimpulses in �e3-Richtung erhalten bleibt. Die anderen
Gesamtimpulskomponenten bleiben jedoch nicht erhalten.
Ein Beispiel dafür ist die schiefe Ebene aus Kap. 3.1.1: der Massenpunkt kann in die y-
Richtung, die senkrecht zur Papierebene zeigt, beliebig bewegt werden, ohne Änderung der
Lagrange-Funktion. y ist eine zyklische Koordinate und der dazugehörende kanonisch konjugierte
Impuls, der in diesem Fall gleich der y-Komponente des Gesamtimpulses ist, bleibt
erhalten.
Schwerpunktsatz: Wir untersuchen jetzt die Änderung des Gesamtimpulses eines N-Teilchensystems
bei einer Galilei-Transformation in ein anderes Inertialsystem K ′
, das sich mit
der konstanten Geschwindigkeit � V relativ zum ursprünglichen Koordinatensystem K bewegt
(siehe Abb 3.12).
Für alle Ortsvektoren lauten die Transformationsgleichungen
�ri = �r ′
i + � V t ,
Für den Gesamtimpuls erhalten wir dann
116
�P =
N�
mi ˙ �ri =
i=1
N�
i=1
mi ˙ �r ′
i +
N�
mi � V = � P ′
+
i=1
˙ �ri = ˙ �r ′
i + � V .
N�
mi � V = � P ′
+ M � V , (3.210)
i=1