R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.7 Differentiation und Integration von Vektoren
Da die kartesischen Einheitsvektoren �ei nicht variabel sind, definiert man das Differential
des Vektors als
so dass
d � A(u)
du
d � A(u)
du
�A (u + ∆u) −
≡ lim
∆u→0
� A(u)
�
∆u
Ax (u + ∆u) − Ax(u)
= lim
�e1 +
∆u→0 ∆u
Ay (u + ∆u) − Ay(u)
�e2
∆u
+ Az
�
(u + ∆u) − Az(u)
�e3 , (1.41)
∆u
= dAx(u)
du �e1 + dAy(u)
du �e2 + dAz(u)
du �e3 . (1.42)
Analog ergeben sich höhere Ableitungen zu
d n � A(u)
du n
= dn Ax(u)
du n
�e1 + dnAy(u) dun �e2 + dnAz(u) dun �e3 . (1.43)
Es gelten folgende Regeln, die man leicht über die Komponentendarstellung (1.40) beweist:
(a)
(b)
(c)
d
� �
�A + B�
du
d
� �
�A · B�
du
d
� �
�A × B�
du
= d � A
du + d � B
du
(d) Falls Φ(u) eine skalare Funktion bezeichnet gilt
(1.44)
= � A · d � B
du + d � A
du · � B (1.45)
= � A × d � B
du + d � A
du × � B . (1.46)
d
�
Φ
du
� �
A = Φ d � A dΦ
+
du du � A . (1.47)
Wichtige physikalische Vektoren, die als Ableitungen von Vektoren definiert sind, sind die
Geschwindigkeit
�v(t) ≡ d�r(t)
dt = ˙ �r(t) , (1.48)
als Zeitableitung des Ortsvektors �r(t) eines Punktteilchens und die Beschleunigung
�a(t) ≡ d�v(t)
dt = d2 �r(t)
dt 2 = ¨ �r(t) , (1.49)
als Zeitableitung des Geschwindigkeitsvektors �v(t) und somit als zweite zeitliche Ableitung
des Ortsvektors �r(t).
Betrachten wir als Beispiel die Bewegung eines Teilches auf einer Kreisbahn
�r(t) = (x(t), y(t), z(t)) = (R cos(ωt), R sin(ωt), 0) , (1.50)
mit dem Radius R und der Winkelgeschwindigkeit ω (siehe Abb. 1.11). In einer Umlaufzeit
T = 2π/ω hat das Teilchen einen kompletten Umlauf absolviert. Durch Ableitung des
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