R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.11 Differentialoperatoren in krummlinigen Koordinaten
benutzen wir die Darstellungen (1.133). Wir erhalten für
�∇ · (A1�eq1 ) = � �
∇ · A1h2h3 � ∇q2 × � �
∇q3 .
Mit der Produktregel (1.108) folgt
� �
�∇ · (A1�eq1 ) = �∇ (A1h2h3)
�
· �∇q2 × � �
∇q3 + A1h2h3 � �
∇ · �∇q2 × � �
∇q3
Der zweite Term in dieser Gleichung verschwindet, denn nach Anwendung der Produktregel
(1.109) gilt
�
�∇ · �∇q2 × � �
∇q3 = � ∇q3 · rot grad q2 − � ∇q2 · rot grad q3 = 0
gemäß Gleichung (1.116). Es verbleibt unter Ausnutzung von (1.131)
�∇ · (A1�eq1 ) =
� � �
�∇ (A1h2h3) · �∇q2 × � =
�
∇q3
� � �
�eq2
�∇ (A1h2h3) · ×
h2
�eq3
=
�
h3
� �
�∇ (A1h2h3) · �eq1
.
h2h3
Jetzt benutzen wir die Darstellung (1.130) für
Orthogonalitätsrelation (1.122)
grad (A1h2h3) und erhalten aufgrund der
�∇ · (A1�eq1 ) =
�
�
1 ∂ (A1h2h3) 1 ∂ (A1h2h3) 1 ∂ (A1h2h3)
�eq1
+ �eq2
+ �eq3
·
h1 ∂q1 h2 ∂q2 h3 ∂q3
�eq1
h2h3
=
1 ∂
(A1h2h3) .
h1h2h3 ∂q1
(1.134)
Ebenso berechnen wir
und
so dass
div � A =
1.11.4 Rotation
Zur Berechnung von
1
h1h2h3
�∇ · (A2�eq2 ) =
�∇ · (A3�eq3 ) =
1
h1h2h3
1
h1h2h3
∂
(A2h1h3)
∂q2
∂
(A3h1h2) ,
∂q3
�
∂
(A1h2h3) +
∂q1
∂
(A2h1h3) +
∂q2
∂
∂q3
�
(A3h1h2)
.
. (1.135)
rot � A = � ∇ × (A1�eq1 + A2�eq2 + A3�eq3 ) = � ∇ × (A1�eq1 ) + � ∇ × (A2�eq2 ) + � ∇ × (A3�eq3 )
35