R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

a b
φ
a
b
1.2 Vektoroperationen
Abbildung 1.5: Geometrische Darstellung des Kreuzprodukts �a × � b
(a) �a × � b hat seinen größten Betrag |�a × � b| = ab, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander
stehen, d.h. φ = π/2 oder �a ⊥ � b.
(b) �a × � b = �0, wenn die Vektoren gleichgerichtet (�a ↑↑ � b) oder entgegengesetzt (�a ↑↓ � b)
gerichtet sind.
(c) Es gilt speziell �a × �a = �0.
Mit ⊙ kennzeichnet man einen Vektor, der senkrecht zur Zeichenebene steht und aus ihr
herausragt; mit ⊗ kennzeichnet man einen Vektor, der senkrecht zur Zeichenebene steht und
in sie hineinzeigt.
Für das Kreuzprodukt gelten folgende Rechenregeln:
(d) Anti-Kommutativitätsgesetz �a × � b = − � b ×�a, d.h. die Reihenfolge der Verknüpfung ist
wichtig.
(e) Distributivitätsgesetz �a×( � b+�c) = (�a× � b)+(�a×�c). Dieses Gesetz lässt sich am besten
geometrisch beweisen.
(f) Keine Assoziativität: �a × ( � b × �c) �= (�a × � b) × �c
(g) Mit reeller Zahl p gilt p(�a × � b) = (p�a) × � b = �a × (p � b).
Für das Kreuzprodukt der kartesischen Einheitsvektoren gilt
�i ×�i = �j × �j = �k × �k = �0 ,
�i × �j = −�j ×�i = �k ,
�j × �k = −�k × �j =�i ,
�k ×�i = −�i × �k = �j . (1.8)
7