R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
die Lagrange-Gleichungen 2. Art resultieren, die somit auch für Kräfte gültig sind, die sich
gemäß Gleichung (3.228) aus einem geschwindigkeitsabhängigen Potential ableiten lassen.
Diese Erweiterung ist sinnvoll, wie das Beispiel der Lorentz-Kraft zeigt.
3.13.1 Beispiel: Lorentz-Kraft
Auf ein Teilchen der Ladung e im elektromagnetischen Feld wirkt die sogenannte Lorentzkraft
(im Gaußschen Maßsystem)
�F = e � E + e
c �v × � B , (3.231)
wobei � E die elektrische Feldstärke, � B die magnetische Feldstärke, �v die Teilchengeschwindigkeit
und c die Lichtgeschwindigkeit darstellen. In der Vorlesung Elektrodynamik wird gezeigt
werden, dass sich die Feldstärken
�B = � ∇ × � A ,
E � = −∇Φ �
1 ∂
−
c
� A
∂t
(3.232)
aus einem skalaren Potential Φ(�r, t) und einem Vektorpotential � A(�r, t) ableiten lassen. Setzt
man die Gleichungen (3.232) in Gleichung (3.231) ein, so folgt für die Lorentzkraft
�
�F = e −� ∇Φ − 1 ∂
c
� A 1
� �
+ �v × �∇ × A�
∂t c �
. (3.233)
Um diesen Ausdruck zu vereinfachen, betrachten wir die x-Komponente des letzten Terms:
� � ��
T3 = �v × �∇ × A�
x
=
� � � �
∂Ay ∂Ax ∂Ax ∂Az
vy − − vz −
∂x ∂y ∂z ∂x
Nun addieren wir
und erhalten mit
dAx
dt
∂Ay
dass T3 = vy
∂Ay ∂Az ∂Ax ∂Ax
= vy + vz − vy − vz
∂x ∂x ∂y ∂z .
∂Ax ∂Ax
0 = vx − vx
∂x ∂x
∂Ax
=
∂t +
�
∂Ax ∂Ax
vx + vy + vz
∂x ∂y
= ∂
∂x
∂x
�
�v · � A
∂Az
+ vz
�
∂x
− dAx
dt
�
∂Ax
∂z
∂Ax ∂Ax ∂Ax ∂Ax
+ vx − vx − vy − vz
∂x ∂x ∂y ∂z
+ ∂Ax
∂t
Damit erhalten wir nach (3.233) für die x-Komponente der Lorentzkraft
124
Fx
e
= −∂Φ
∂x
= − ∂Φ
∂x
1 ∂Ax
−
c ∂t
+ 1
c
.
�
�v · � �
A
1 ∂
+
c ∂x
∂
�
�v ·
∂x
� �
A − 1 dAx
c dt
− 1 dAx
c dt
.
,
1 ∂Ax
+
c ∂t