R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Es ist
�vi · ∂�vi
∂ ˙
qj
= 1
2
so dass Q (r)
j = −
∂
∂qj ˙
N�
i=1
Trick: Sei F die Stammfunktion von f, also
dann gilt
d
dx
� a(x)
0
� a(x)
0
(�vi · �vi) = 1
2
Ki (vi) ∂vi
∂ ˙
qj
dy f(y) = F (a(x)) − F (0) ,
3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kräfte
∂v 2 i
∂ ˙
qj
∂vi
= vi
∂qj ˙
,
. (3.246)
dy f(y) = d
[F (a(x)) − F (0)] = f(a(x))da(x) . (3.247)
dx dx
Wenden wir diesen Trick auf Gleichung (3.246) an, dann gilt:
∂
∂ ˙
qj
� vi
0
d˜vi Ki (˜vi) = Ki (vi) ∂vi
∂qj ˙
N�
und wir erhalten Q (r)
j = − ∂
∂ ˙
qj
mit der Dissipationsfunktion
D ≡
Damit wird dann aus (3.244)
� �
d ∂L
−
dt ∂ ˙qj
∂L
∂qj
N�
i=1
� vi
0
+ ∂D
∂ ˙qj
i=1
� vi
0
d˜vi Ki (˜vi) = − ∂D
∂ ˙
qj
, (3.248)
d˜vi Ki (˜vi) . (3.249)
= 0 , j = 1, . . . , s . (3.250)
Beispiel: Im Fall der Stokesschen Reibung (2.81), � F (r)
i = −Ki�vi, ist Ki(vi) = Kivi, so dass
nach Gleichung (3.249)
D =
N�
i=1
Ki
� vi
0
d˜vi ˜vi = 1
2
N�
i=1
Kiv 2 i . (3.251)
Diese spezielle Dissipationsfunktion wird als Rayleighsche Dissipationsfunktion bezeichnet.
Die vom System gegen die Reibung geleistete Arbeit ist
dW = −
N�
i=1
�F (r)
i
· d�ri = −
N�
i=1
�F (r)
i
· �vidt =
N�
i=1
Kiv 2 i dt = 2D dt , (3.252)
d.h. die Leistung (dW/dt) = 2D ist gleich dem doppelten Wert der Dissipationsfunktion. Da
diese Energie in Wärme umgewandelt wird und dem System dadurch verloren geht, spricht
man von Energiedissipation, was auch die Namensgebung für die Funktion D rechtfertigt.
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