R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1.3 Komponentendarstellung von Vektoren in kartesischen Koordinaten
und addieren auf beiden Seiten den Ausdruck
0 = axbxcx − axbxcx
dazu. Es ergibt sich
� � ��
�a × �b × �c
x = bx
=
(axcx + aycy + azcz) − cx (axbx + ayby + azbz)
�
bx (�a · �c) − cx �a · � �
b .
Ebenso verfährt man mit den y- und z-Komponenten, so dass die Behauptung bewiesen ist.
Q.E.D.
Übungsaufgaben:
(A1.3.1) Drei Vektoren sind gegeben durch
�P = (3, 2, −1),
�Q = (−6, −4, 2),
�R = (1, −2, 1).
Berechnen Sie die Winkel zwischen diesen Vektoren, um herauszufinden, welche dieser Vektoren
senkrecht zueinander stehen oder gleichgerichtet oder entgegengesetzt gleichgerichtet
sind.
(A1.3.2) Bestimmen Sie die Seitenlängen und Winkel des Dreiecks ABC, das durch die drei
Vektoren
�A = (1, 0, 0),
�B = (1/ √ 2, 0, 1/ √ 2),
�C = (0, 1/ √ 2, 1/ √ 2)
festgelegt ist. Jeder Vektor beginnt im Ursprung.
(A1.3.3) Die magnetische Induktion � B ist durch die Lorentz-Kraft � F = q(�v × � B) bestimmt.
Durch drei Messungen finden wir, dass für
(i) �v = �e1, � F /q = 2�e3 − 4�e2,
(ii) �v = �e2, � F /q = 4�e1 − �e3,
(iii) �v = �e3, � F /q = �e2 − 2�e1.
Bestimmen Sie die magnetische Induktion � B.
(A1.3.4) Beweisen Sie die Identitäten (mit Summenkonvention)
(a) ɛijkɛlmk = δilδjm − δimδjl
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