R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

x
R
Θ
l φ
3.11 Hamiltonsches Prinzip
Abbildung 3.11: Rollendes Fass ohne Schlupf auf schiefer Ebene
In holonomer Form entspricht dies
oder in differentieller Form
G(x, Θ) = RΘ − x ,
dx = RdΘ .
In Anlehnung an Gleichung (3.181) bestimmen wir aus der Zwangsbedingung die Koeffizienten
aΘ = ∂G
∂Θ = R , ax = ∂G
= −1 ,
∂x
so dass Gleichung (3.173) in diesem Fall einer einzigen Zwangsbedingung
λ (−dx + RdΘ) = 0 (3.183)
lautet.
Die kinetische Energie ist die Summe aus der kinetischen Energie der Bewegung des Massenzentrums
und der kinetischen Energie der Bewegung um das Massenzentrum:
T = M
2 ˙x2 + M
2 R2 ˙ Θ 2 .
Die potentielle Energie ist V = Mg(l−x) sin φ, wobei l die Länge der schiefen Ebene angibt.
Die Lagrange-Funktion ist dann durch
L = T − V = M
2 ˙x2 + M
2 R2 ˙ Θ 2 − Mg (l − x) sin φ (3.184)
gegeben.
Die Lagrange-Gleichungen (3.179) lauten dann
und
Aus der Lagrange-Funktion (3.184) erhalten wir
∂L
∂x
= Mg sin φ ,
d ∂L ∂L
−
dt ∂ ˙x ∂x = λax = −λ (3.185)
d ∂L
dt ∂ ˙ ∂L
−
Θ ∂Θ = λaΘ = λR . (3.186)
∂L
∂ ˙x
= M ˙x ,
∂L
= 0 ,
∂Θ
∂L
∂ ˙ Θ = MR2 ˙ Θ .
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