R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

8.7 Zukünftige Beschleunigung des Universums
Die Beschleunigung ist positiv, Null oder negativ, je nachdem, ob 2ρv größer, gleich, oder
kleiner als ρm ist. Mit den Omega-Parametern (8.39) gilt für Gleichung (8.41)
d2R = −4
dt2 3 πGρc (Ωm − 2Ωv) R . (8.42)
Wir beginnen mit dem vakuumfreien Fall Ωv = 0. Die Expansion stoppt, falls Ωm > 1,
weil damit das Gesamt-Omega Ω > 1 ist und gemäß Gleichung (8.38) dann k = 1 positiv
ist. Gemäß Gleichung (8.3) ist die Konstante E dann negativ, und die potentielle Energie
dominiert die kinetische Energie.
Als nächstes betrachten wir den Fall Ωv �= 0. Allgemein hört die Expansion des Universums
irgendwann einmal auf, falls d 2 R/dt 2 negativ ist und negativ bleibt, bis dR/dt = 0 wird.
Wir bezeichnen mit ˜ρm und ˜ R die Werte, für die d 2 R/dt 2 = dR/dt = 0 gilt, und mit ρm
und R die heutigen Werte. Man beachte, dass ˜ρv = ρv konstant und immer gleich ist. Nach
Gleichung (8.41) gilt dann
˜ρm − 2ρv = 0 , (8.43)
während Gleichung (8.8) für ein geschlossenes (k = 1) Universum auf
führt. Gleichung (8.12) impliziert
8
3 πG (˜ρm + ρv) ˜ R 2 = kR 2 (t1) = R 2 (t1) (8.44)
ρmR 3 = ˜ρm ˜ R 3 . (8.45)
Das Einsetzen der Gleichungen (8.43) und (8.45) in Gleichung (8.44) ergibt
8πGρv
� �2/3 ρm
2ρv
Die Friedmann-Gleichung (8.5) für k = 1 lautet
R 2 (t1)
R 2
= R2 (t1)
R 2 . (8.46)
8
=
3 πGρ − H2 . (8.47)
Das Gleichsetzen der Gleichungen (8.46) und (8.47) führt nach Division durch H 2 mit den
Omega-Parametern (8.39) und Ωγ = 0 auf
Zur Lösung dieser Gleichung setzen wir
1 − Ωm − Ωv + 3
Ω1/3
22/3 v Ω 2/3
m = 0 . (8.48)
x = 1 − 1
Ωm
Damit schreibt sich Gleichung (8.48) als
, y =
� Ωv
4Ωm
� 1/3
. (8.49)
4y 3 − 3y + x = 0 , (8.50)
oder y 3 − 3 x
y +
4 4
= 0 .
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