R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Benutzen wir (4.63) für dA = (r 2 /2)dφ, so folgt mit φ = 0 für t = 0
πab t
T
= 1
2
� φ
0
dφ ′
r 2 (φ ′
) = p2
� φ
2 0
wobei wir Gleichung (4.43) eingesetzt haben.
Wir benutzen die Integrale
�
dx
−1
2 =
(a1 + b1 cos x)
und
�
dx
a1 + b1 cos x =
a 2 1 − b2 1
2
�
a2 1 − b2 arctan
1
dφ ′
(1 + ɛ cos φ ′ 2 , (4.67)
)
�
�
b1 sin x
− a1
a1 + b1 cos x
�
a2 1 − b2 x
1 tan 2
a1 + b1
dx
a1 + b1 cos x
und erhalten mit a1 = 1, b1 = ɛ für das Integral in Gleichung (4.67)
�
dx
2
(1 + ɛ cos x)
=
1
−
1 − ɛ2 �
ɛ sin x
1 + ɛ cos x −
=
�
�
dx
1 + ɛ cos x
1
1 − ɛ2 �
2
√
1 − ɛ2 arctan
=
√ �
1 − ɛ2 x tan 2 ɛ sin x
−
1 + ɛ 1 + ɛ cos x
1
1 − ɛ2 �
2
√
1 − ɛ2 arctan
√ �
x 1 − ɛ tan
√ 2 ɛ sin x
− .
1 + ɛ 1 + ɛ cos x
Damit folgt für Gleichung (4.67)
πab t
T =
p2 2 (1 − ɛ2 �
2
√
) 1 − ɛ2 arctan
Mit
(vgl. Gleichung (4.46)) folgt
2π t
T
√ 1 − ɛ tan φ
2
√ 1 + ɛ
ab = a 2 � 1 − ɛ 2� 1/2 = p 2 � 1 − ɛ 2� −3/2 ,
= 2 arctan
−
�
ɛ sin φ
1 + ɛ cos φ
�� �
1 − ɛ φ
tan −
1 + ɛ 2
ɛ√1 − ɛ2 sin φ
. (4.68)
1 + ɛ cos φ
Dies ist eine komplizierte Gleichung für t = t(φ), die auch noch nach φ = φ(t) aufgelöst
werden muss.
Kepler hat das Problem durch geometrische Konstruktion gelöst, obwohl er Gleichung (4.67)
nicht kannte: die Bewegung erfolgt auf der elliptischen Bahn mit dem Kraftzentrum im
Brennpunkt O, den Kepler als Ursprung des rechtwinkligen Koordinatensystems (x, y) wählt
(siehe Abb. 4.11).
In diesem System lautet die Bahngleichung
150
(x + aɛ) 2
a 2
+ y2
= 1 . (4.69)
b2 .
�