R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

und durch direkte Integration
� t
2.5 Reibung
�v(t)e βt/m = −g�e3 dse βs/m + �c3 = − mg
β eβt/m�e3 + �c3 ,
also �v(t) = − mg
β �e3 + �c3e −βt/m . (2.87)
Mit der Anfangsbedingung (2.74) folgt
�v(t = 0) = − mg
β �e3 + �c3 = V0 (cos α�e2 + sin α�e3) ,
also �c3 = �v(t = 0) + mg
β �e3
�
= V0 cos α�e2 + V0 sin α + mg
�
�e3 . (2.88)
β
Setzen wir dieses Ergebnis in Gleichung (2.87) ein, erhalten wir
�v(t) = d�r
dt = V0 cos αe −βt/m �
�e2 + �e3 − mg
β +
�
V0 sin α + mg
�
e
β
−βt/m
�
. (2.89)
Für große Zeiten t ≫ m/β ist e−βt/m ≪ 1 und der Geschwindigkeitsverlauf (2.89) lässt sich
gut durch
�
�v t ≫ m
�
� −
β
mg
β �e3
(2.90)
approximieren, das dem senkrechten Fall mit der konstanten Geschwindigkeit (mg/β) entspricht.
Durch nochmalige Integration von Gleichung (2.89) erhalten wir für den Ort
�r(t) = �c4 − V0m
β cos αe−βt/m �e2 + �e3
Aus der Anfangsbedingung �r(t = 0) = �0 folgt
�
�c4 = V0m
β cos α�e2 + m
β
− mg m
t −
β β
�
�
V0 sin α + mg
β
V0 sin α + mg
β
und eingesetzt in Gleichung (2.91) ergibt sich als vollständige Lösung
�r(t) = (0, y(t), z(t))
= V0m
�
cos α 1 − e
β −βt/m�
�e2
�
+ − mg
�
m
t +
β β
Für die y-Komponente erhalten wir
y(t) = V0m
β
V0 sin α + mg
β
�
cos α 1 − e −βt/m�
�
�e3
�
e −βt/m
�
. (2.91)
� �
1 − e −βt/m��
�e3 . (2.92)
, (2.93)
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