R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
Erfolgreiche ePaper selbst erstellen
Machen Sie aus Ihren PDF Publikationen ein blätterbares Flipbook mit unserer einzigartigen Google optimierten e-Paper Software.
3 Analytische Mechanik<br />
wobei wir die verallgemeinerte Kraft durch<br />
Qj ≡<br />
N�<br />
i=1<br />
�Ki · ∂�ri<br />
∂qj<br />
(3.86)<br />
einführen.<br />
Die Umwandlung des zweiten Terms ist etwas umfangreicher. Mit <strong>der</strong>selben Hilfsformel erhalten<br />
wir<br />
Wir nutzen<br />
I2 =<br />
N�<br />
˙�pi · δ�ri =<br />
i=1<br />
N�<br />
s�<br />
i=1 j=1<br />
�<br />
d ˙�ri ·<br />
dt<br />
∂�ri<br />
�<br />
=<br />
∂qj<br />
¨ �ri · ∂�ri<br />
∂qj<br />
mi ¨ �ri · ∂�ri<br />
δqj . (3.87)<br />
∂qj<br />
+ ˙ �ri · d<br />
dt<br />
� �<br />
∂�ri<br />
∂qj<br />
<strong>und</strong> vertauschen im zweiten Term auf <strong>der</strong> rechten Seite die Ableitungen, denn<br />
� �<br />
d ∂�ri<br />
=<br />
dt ∂qj<br />
∂ ∂�ri<br />
+<br />
∂t ∂qj<br />
� ∂ ∂�ri<br />
˙qk<br />
∂qk ∂qj<br />
k<br />
= ∂ ∂�ri<br />
� ∂ ∂�ri<br />
+ ˙qk =<br />
∂qj ∂t ∂qj ∂qk<br />
k<br />
∂<br />
� �<br />
d�ri<br />
∂qj dt<br />
Dann erhalten wir aus Gleichung (3.88)<br />
¨�ri · ∂�ri<br />
=<br />
∂qj<br />
d<br />
�<br />
˙�ri ·<br />
dt<br />
∂�ri<br />
�<br />
−<br />
∂qj<br />
˙ �ri · ∂<br />
� �<br />
d�ri<br />
∂qj dt<br />
Eingesetzt in Gleichung (3.87) folgt<br />
I2 =<br />
N�<br />
s�<br />
i=1 j=1<br />
mi<br />
� �<br />
d ˙�ri ·<br />
dt<br />
∂�ri<br />
�<br />
−<br />
∂qj<br />
˙ �ri · ∂ ˙ �<br />
�ri<br />
δqj .<br />
∂qj<br />
Mit <strong>der</strong> Hilfsformel (3.83) im ersten Term auf <strong>der</strong> rechten Seite erhalten wir<br />
I2 =<br />
N� s�<br />
� �<br />
d<br />
mi<br />
˙�ri ·<br />
dt<br />
i=1 j=1<br />
∂ ˙ �<br />
�ri<br />
−<br />
∂ ˙qj<br />
˙ �ri · ∂ ˙ �<br />
�ri<br />
δqj<br />
∂qj<br />
=<br />
N� s�<br />
� �<br />
d<br />
mi �vi ·<br />
dt<br />
i=1 j=1<br />
∂�vi<br />
�<br />
− �vi ·<br />
∂ ˙qj<br />
∂�vi<br />
=<br />
�<br />
δqj<br />
∂qj<br />
s�<br />
� � �<br />
N�<br />
d ∂ mi<br />
dt ∂ ˙qj 2 v2 ��<br />
i − ∂<br />
�<br />
N�<br />
mi<br />
∂qj 2 v2 ��<br />
i δqj .<br />
j=1<br />
i=1<br />
i=1<br />
j=1<br />
i=1<br />
.<br />
(3.88)<br />
Mit <strong>der</strong> kinetischen Energie T = �N i=1 (mi/2)v2 i ergibt sich also<br />
N�<br />
s�<br />
� � �<br />
d ∂T<br />
I2 = ˙�pi · δ�ri =<br />
−<br />
dt ∂ ˙qj<br />
∂T<br />
�<br />
δqj . (3.89)<br />
∂qj<br />
86
Change language