R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
Hier stellt sich oft die Schwierigkeit, dass wir die Zwangsbedingungen kennen (siehe schiefe
Ebene) und mathematisch formulieren können, aber nicht die Zwangskräfte.
Hier behandeln wir zunächst Methoden
(a) zum Aufstellen der Bewegungsgleichung bei eingeschränkter Bewegung und
(b) zur Berechnung der Zwangskräfte aus vorgegebenen Zwangsbedingungen.
Dieses Vorgehen führt zu den Lagrange-Gleichungen 1. Art.
Ist man an den Zwangskräften nicht interessiert, so eliminiert man sie durch Einführung
geeigneter neuer Koordinaten. Dies führt auf die Lagrange-Gleichungen 2. Art (siehe
z.B. Kap. 3.2 für das ebene Pendel).
Bei einfachen Problemen (wie der schiefen Ebene) kann man die eingeschränkte Bewegung
auch durch direkte Anwendung der Newtonschen Axiome lösen. Gemäß Abb. 3.1 gilt
x = s cos α
und z = s sin α ,
wobei s die Koordinate entlang der schiefen Ebene bezeichnet. Aus der dynamischen Grundgleichung
und Ft = −mg sin α
m ¨ �r = � Ft (3.1)
folgen dann ¨x = ¨s cos α = −g sin α cos α ,
und durch zweimalige Integration die Lösungen
¨z = ¨s sin α = −g sin 2 α (3.2)
x(t) = x0 + ˙x0t − g
2 t2 sin α cos α ,
z(t) = z0 + ˙z0t − g
2 t2 sin 2 α . (3.3)
Bei komplizierteren eingeschränkten Bewegungen (z.B. Achterbahn) ist die direkte Lösung
nicht möglich.
3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwerefeld
Wir betrachten jetzt die Bewegung des Pendels im Schwerefeld: auf eine Masse m wirke die
Schwerkraft � K und eine durch einen Faden der Länge l ausgeübte unbekannte Zwangskraft
�Z (siehe Abb. 3.2).
Der Massenpunkt wird durch den Faden der Länge l auf einer Kreisbahn gehalten, d.h. die
Zwangsbedingungen für die Bahn �r(t) = (x(t), y(t), z(t)) lauten:
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z = 0 , x 2 + y 2 = l 2 . (3.4)