R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
ist die gesamte kinetische Energie des Systems.
δ ∗ in Gleichung (3.166) deutet an, dass es sich im Allgemeinen nicht um eine Variation handelt,
sondern um die virtuelle Arbeit bei der Verrückung zur Nachbarkurve. δ ∗ W bezeichnet
die virtuelle Arbeit der eingeprägten Kräfte und nicht die Variation δW einer Funktion W .
Integrieren wir Gleichung (3.165) nach der Zeit, so ergibt sich
� t2
t1
dt (δT + δ ∗ W ) =
N�
i=1
mi
� ˙�ri · δ�ri
� t2
t1
= 0 ,
weil δ�ri(t1) = δ�ri(t2) = 0 (3.168)
an den Endpunkten. Wir erhalten dann das verallgemeinerte Hamilton-Prinzip zu
� t2
t1
(δT + δ ∗ W ) dt = 0 . (3.169)
Im Fall von konservativen Kräften ( � F = − � ∇V ) ergibt sich wieder das Hamilton-Prinzip
(3.163), denn Gleichung (3.166) reduziert sich dann auf
so dass wir für Gleichung (3.169)
erhalten.
� t2
t1
δ ∗ W = −
N� ∂V
δxi = −δV ,
∂xi
i=1
� t2
dt δ(T − V ) = δ
t1
L dt = 0
3.11.4 Erweiterung des Hamilton-Prinzips auf nichtholonome
Zwangsbedingungen
Nichtholonome Zwangsbedingungen können oft in nicht-integrabler differentieller Form geschrieben
werden (siehe Kap. 3.4.4)
n�
ajkdqk + ajdt = 0 , j = 1, . . . , m , (3.170)
k=1
wobei m die Zahl der Zwangsbedingungen angibt. Betrachtet man virtuelle Verrückungen,
d.h. dt = δt = 0, so erhält man
106
n�
ajkδqk = 0 , j = 1, . . . , m . (3.171)
k=1