R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

8.3 Dichte und Druck des Universums
der Druck p im Volumenelement die Arbeit pdV leistet, die die Energie im Volumenelement
so vermindert, dass für eine Kugel mit dem Radius R
�
d ρ 4
3 πR3
� �
4
= −pd
3 πR3
�
ist. Es folgt
d � ρR3� dt
oder R dρ
dR
+ 3 (ρ + p)
dt dt
Wir schreiben die Friedmann-Gleichung (8.5) als
= −p dR3
dt
Wir berechnen die zeitliche Ableitung dieser Beziehung:
d. h.
d
dt
� �2 dR
dt
dR
dt
, (8.6)
= 0 . (8.7)
� �2 dR
=
dt
8
3 πGρR2 − kR 2 (t1) . (8.8)
= 2 dR
dt
d2R 4
=
dt2 3 πGR
d2R 8
=
dt2 3 πG
�
2R dR
�
dρ
ρ + R2
dt dt
�
2 dR
�
ρ + Rdρ .
dt dt
Auf der rechten Seite benutzen wir Gleichung (8.7) für Rdρ/dt mit dem Ergebnis
so dass
dR d
dt
2R dt2 =
4
3 πGRdR [2ρ − 3 (ρ + p)] ,
dt
d2R dt2 = −4 πG (ρ + 3p) R .
3
(8.9)
Die beiden Gleichungen (8.8) und (8.9) werden als Einstein-Gleichungen der Kosmologie
bezeichnet.
8.3 Dichte und Druck des Universums
Der Druck des Universums wird durch die Energiedichte der Bestandteile des Universums
bestimmt. Die Energiedichte kommt durch Materie, Strahlung oder das Vakuum zustande.
Jede dieser Komponenten ergibt einen anderen Druck.
Die Energiedichte der Materie erzeugt keinen Druck, der die Expansion des Universums
beeinflusst. In unserer Näherung stoßen Galaxien nicht zusammen und erzeugen daher keinen
thermischen Druck, wie etwa Moleküle in einem Gas. Zwischen der Energiedichte und dem
Druck elektromagnetischer Strahlung besteht der Zusammenhang
pγ = 1
3 ργ . (8.10)
,
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