R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Aus der Lagrange-Funktion (6.119) folgt
und
d ∂L
dt ∂ ˙ θ = Θ1 ¨ ∂L
θ ,
∂θ = Θ1 ˙ φ 2 sin θ cos θ + Θ3
= sin θ
so dass die erste Lagrange-Gleichung lautet
Θ1 ¨ θ − sin θ
6.8 Lagrange-Mechanik des starren Körpers
� � �
˙ψ + φ˙ cos θ
�
Mgl + ˙ φ 2 (Θ1 − Θ3) cos θ − Θ3 ˙ φ ˙ ψ
�
(Θ1 − Θ3) ˙ φ 2 cos θ − Θ3 ˙ ψ ˙ φ + Mgl
Mit θ = θ0 = const folgt ¨ θ = 0 und diese Lagrange-Gleichung liefert
− ˙ �
φ sin θ + Mgl sin θ
�
,
�
= 0 .
(Θ1 − Θ3) ˙ φ 2 cos θ0 − Θ3 ˙ ψ ˙ φ + Mgl = 0 . (6.134)
Ebenso erhalten wir aus der Lagrange-Funktion (6.119)
und
so dass
∂L
∂φ
∂L
= 0
∂ ˙ φ = Θ1 sin 2 θ ˙ φ + Θ3
= Θ1 sin 2 θ0 ˙ φ + Θ3
Θ1 sin 2 θ0 ¨ φ + Θ3 cos θ0
� �
˙ψ + φ˙ cos θ cos θ
� �
˙ψ + φ˙ cos θ0 cos θ0 ,
Schließlich erhalten wir aus der Lagrange-Funktion (6.119)
und
∂L
∂ψ
∂L
∂ ˙ ψ
= 0
= Θ3
= Θ3
� �
˙ψ + φ˙ cos θ
� �
˙ψ + φ˙ cos θ0
� �
¨ψ + φ¨ cos θ0 = 0 . (6.135)
so dass aus der Lagrange-Gleichung bezüglich ψ folgt
� �
¨ψ + φ¨ cos θ0 = 0 . (6.136)
Θ3
Setzen wir Gleichung (6.136) in Gleichung (6.135) ein, so folgt sofort ¨ φ = 0 und damit
˙φ = ˙ φ0 = const. Damit ergibt sich gemäß Gleichung (6.136) ˙ ψ = ˙ ψ0 = const. Beide
Konstanten müssen Gleichung (6.134) erfüllen; d.h.
,
(Θ1 − Θ3) cos θ0 ˙ φ 2 0 − Θ3 ˙ φ0 ˙ ψ0 + Mgl = 0 . (6.137)
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