R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.4.2 Allgemeiner Fall
3.4 Lagrange-Gleichungen 1. Art
Treten in einem physikalischen System p Zwangsbedingungen Gj, j = 1, . . . , p auf, so lauten
die Lagrange-Gleichungen 1. Art für die Bewegung eines Massenpunktes
m ¨ �r = � K +
p�
λj(t) � ∇Gj (�r, t) . (3.56)
j=1
Die Zwangskraft ergibt sich also proportional zur Summe der Gradienten der Zwangsbedingungen.
Dies kann man für 2 Zwangsbedingungen G1 und G2 leicht veranschaulichen: Das Schnittgebilde
der durch die Zwangsbedingungen vorgegebenen Ebenen G1 und G2 ist eine Kurve,
und der Gradient jeder der beiden Zwangsbedingungen steht senkrecht auf dieser Kurve, da
er senkrecht auf der jeweiligen Ebene steht. Sind die Zwangsbedingungen voneinander unabhängig,
so sind � ∇G1 und � ∇G2 linear unabhängige Vektoren, und jeder auf der Schnittkurve
senkrecht stehende Vektor kann als Linearkombination der beiden Gradienten geschrieben
werden.
Verallgemeinert man Gleichung (3.56) auf ein System von N Massenpunkten mi, i =
1, . . . , N und p Zwangsbedingungen Gj, j = 1, . . . , p, so erhalten wir N Lagrange-Gleichungen
1. Art
mi ¨ �ri = � p�
Ki + λj(t) � ∇�ri Gj (�ri, t) , i = 1, . . . , N . (3.57)
j=1
3.4.3 Kochrezept für Lagrange-Gleichungen 1.Art
Im Sinne eines “Kochrezepts” fassen wir das Lösungsverfahren bei Lagrange-Gleichungen 1.
Art zusammen:
1. Wähle geeignete Koordinaten.
2. Formuliere die äußeren Kräfte � K.
3. Formuliere die Zwangsbedingungen in der Form Gj(x, y, z, t) = 0.
4. Berechne � ∇Gj.
5. Stelle die Bewegungsgleichung m ¨ �r = � K + �
j λj � ∇Gj auf.
6. Leite die Zwangsbedingungen zweimal nach der Zeit t ab.
7. Löse das aus (5) und (6) bestehende Gleichungssystem.
Übungsaufgabe:
(A3.4.1) Hantel auf 2 zueinander senkrechten Achsen (Volz I, S. 137ff)
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