R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

a
b
a + b
b
1.2 Vektoroperationen
Abbildung 1.3: Geometrische Darstellung der Addition zweier Vektoren
Der Nullvektor �0 ≡ �a − �a hat den Betrag 0 und ist richtungslos.
1.2.3 Multiplikation von Vektoren mit Skalaren
Sei p eine reelle Zahl. Der Vektor p�a hat die gleiche Richtung wie der Vektor �a und den
Betrag |p�a| = |p||�a|.
Seien p, q reelle Zahlen. Dann gilt
1.2.4 Skalarprodukt von Vektoren
q (p�a) = p (q�a) = qp�a
(p + q)�a = p�a + q�a
�
p �a + � �
b = p�a + p�b .
Definition: Das Skalarprodukt zweier Vektoren (�a und �b) ist definiert als die reelle Zahl
�a · � � � �
� � �
b ≡ ��a � �� �
�
�
b�
cos φ, φ = ∠ �a, � �
b , (1.2)
wobei φ den Winkel zwischen den Vektoren �a und � b bezeichnet. Anschaulich (Abb. 1.4)
entspricht das Skalarprodukt der Projektion des Vektors � b auf den Vektor �a, multipliziert
mit dem Betrag |�a| des Vektors �a, oder der Projektion des Vektors �a auf den Vektor � b,
multipliziert mit dem Betrag | � b| des Vektors � b.
Offensichtlich hat das Skalarprodukt folgende Eigenschaften:
• �a · � b nimmt seinen größten Wert |�a|| � b| = ab für gleichgerichtete Vektoren an, so dass
der Winkel φ = 0 ist.
• �a · � b nimmt seinen kleinsten Wert −|�a|| � b| = −ab für entgegengerichtete Vektoren an,
so dass der Winkel φ = π ist.
• �a · � b = 0, wenn die Vektoren senkrecht aufeinander stehen, d.h. φ = π/2 oder �a ⊥ � b.
Für das Skalarprodukt gelten folgende Rechenregeln:
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