R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung
5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung
Auf welche Weise muss eine Hamilton-Funktion H transformiert werden, damit die Lösung
eines möglichen physikalischen Problems möglichst einfach wird?
Eine mögliche Transformation besteht darin, so zu transformieren, dass in den neuen Variablen
(Q, P ) die transformierte Hamilton-Funktion ¯ H ein bekanntes, bereits gelöstes Problem
darstellt (z.B. den harmonischen Oszillator).
Noch einfacher wird die Lösung, wenn die neue Hamilton-Funktion gänzlich verschwindet.
Dann ist die Lösung der neuen kanonischen Gleichungen (5.49)–(5.50) trivial, nämlich
Pj
˙ = − ∂ ¯ H
∂Qj
= 0 , → Pj = αj = const , j = 1, . . . , s , (5.84)
˙Qj = ∂ ¯ H
∂Pj
= 0 , → Qj = βj = const , j = 1, . . . , s . (5.85)
Deshalb bestimmen wir hier diejenige kanonische Transformation F , für die die neue Hamilton-
Funktion verschwindet. Gemäß Gleichung (5.70) muss dann gelten
¯H (Q, P, t) = H (q, p, t) + ∂F
∂t
= 0 . (5.86)
Diese Bedingung führt zu einer partiellen Differentialgleichung für F , der Hamilton-Jacobi-
Gleichung.
Es ist zweckmäßig, aber keinesfalls notwendig, die Erzeugende vom Typ F2 = F2(q, P, t) zu
wählen. Dann gilt nach den Transformationsgleichungen (5.63)–(5.64):
pj = ∂F2 (q, P, t)
∂qj
, Qj = ∂F2 (q, P, t)
∂Pj
. (5.87)
Setzen wir dies in die rechte Seite von Gleichung (5.86) ein, so ergibt sich die Hamilton-
Jacobi-Differentialgleichung (HJD) zu
�
H q1, . . . , qs, ∂F2
, . . . ,
∂q1
∂F2
�
, t +
∂qs
∂F2
= 0 . (5.88)
∂t
Es ist manchmal einfacher, diese HJD anstatt der Bewegungsgleichungen zu lösen.
5.4.1 Anmerkungen zur Hamilton-Jacobi-Gleichung und Lösungsverfahren
(1) Wir berechnen die totale Zeitableitung von F2:
dF2 ∂F2
=
dt ∂t +
s�
�
∂F2
˙qj +
∂qj
∂F2
�
Pj
˙ .
∂Pj
j=1
Mit den Gleichungen (5.84) und (5.87a) ergibt sich
dF2
dt
= ∂F2
∂t +
s�
pj ˙qj =
j=1
s�
pj ˙qj − H (q, p, t) = L , (5.89)
j=1
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