R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung
Das sind s-Gleichungen, die nach den alten Koordinaten q1, . . . , qs aufzulösen sind:
� �
�
qj = qj (t |β1, . . . , βs, α1, . . . , αs ) = qj t �� �
β, �α , j = 1, . . . , s . (5.95)
(d) Man berechne die alten Impulse aus Gleichung (5.87a)
∂S (�q, t |�α)
pj = = pj (�q, t |�α) , j = 1, . . . , s (5.96)
∂qj
und setze die Koordinaten aus Gleichung (5.95) ein:
� �
�
pj = pj (t |β1, . . . , βs, α1, . . . , αs ) = pj t �� �
β, �α , j = 1, . . . , s . (5.97)
(e) Die Anfangsbedingungen
liefern über (5.95) und (5.97)
q (0)
j = qj (t = t0) , p (0)
j = pj (t = t0) , j = 1, . . . , s
�
�α = �α
t0
�
�
��p (0) , �q
(0) �
,
�
β � = β�
t0
�
�
��p (0) , �q
die dann wiederum in (5.95) und (5.97) eingesetzt werden, womit das mechanische Problem
vollständig gelöst ist.
Wir illustrieren das Verfahren am Beispiel des linearen harmonischen Oszillators.
5.4.2 Beispiel des Lösungsverfahrens: Der lineare harmonische Oszillator
(0) �
(a) Nach Gleichung (5.78) ist die Hamilton-Funktion mit k = mω 2 durch
H = p2
2m + mω2q2 2
gegeben. Wir setzen p = (∂S/∂q) und erhalten als HJD nach Gleichung (5.88)
1
2m
� �2 ∂S
+
∂q
mω2q2 2
∂S
+
∂t
,
= 0 . (5.98)
(b) Wegen der t-Abhängigkeit nur im letzten Term von Gleichung (5.98) machen wir den
Ansatz
S (q, P, t) = W (q |P ) − αt , (5.99)
mit der Integrationskonstanten α und erhalten die Gleichung
� �2 1 dW
+
2m dq
mω2q2 2
= α
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