R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
das natürlich dem zweiten Newtonschen Axiom für ein N-Teilchensystem entspricht: Die
Änderung des Gesamtimpulses ist gleich der Summe der äußeren Kräfte.
3.12.3 Drehimpulserhaltung
Drehimpulserhaltungssatz: Bei Systemen, deren Lagrange-Funktion invariant gegenüber
Drehungen um ein Zentrum ist, bleibt der Gesamtdrehimpuls bezüglich des Zentrums
erhalten.
Diese Rotationsinvarianz wird als Isotropie des Raums bezeichnet.
Infinitesimale Drehungen (im Gegensatz zu endlichen Drehungen) lassen sich durch den
Vektor
δ�r = d � φ × �r (3.214)
darstellen, wobei |d � φ| der Wert des infinitesimalen Drehwinkels (siehe Abb. 3.13) ist und d � φ
in die Richtung der Drehachse zeigt. (Der genaue Beweis folgt aus den Transformationseigenschaften
des Vektors.)
dφ
e
r
d φ = dφ e
r’
δr
^=
x
dφ
z
z = z’
r
hier: e = ez Abbildung 3.13: Änderung eines Ortsvektors bei einer infinitesimalen Drehung des Systems
Wir zeigen zunächst, dass die Drehoperation kommutativ für infinitesimale Änderungen ist.
Dazu betrachten wir zwei infinitesimale Rotationen d � φ1 und d � φ2. Durch die erste Rotation
d � φ1 ändert sich der Ortsvektor
x’
�r → �r + δ�r1 mit δ�r1 = d � φ1 × �r .
Diesen Vektor drehen wir dann um d � φ2 um eine andere Achse, so dass
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δ�r2 = d � φ2 × (�r + δ�r1) .
y’
y