R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.9 Weitere Anwendungen
dessen Lösung wir für den Grenzfall kleiner Auslenkungen (θ1,2 ≪ 1) diskutieren. In diesem
Grenzfall nähern wir
sin θ � θ , cos θ � 1
und vernachlässigen Terme ∝ ˙ θ 2 . Das Gleichungssystem (3.116) reduziert sich dann auf
(a) 2l ¨ θ1 + l ¨ θ2 � −2gθ1
und (b) l ¨ θ1 + l ¨ θ2 � −gθ2 . (3.117)
Mit den Lösungsansätzen
θ1,2 = A1,2 exp(iωt) , A1,2 = const. , ω = const. (3.118)
folgt mit ˙ θ1,2 = iωA1,2 exp(iωt) = iωθ1,2
und ¨ θ1,2 = −ω 2 A1,2 exp(iωt) = −ω 2 θ1,2
für das System (3.117)
(a) 2 � g − lω 2� A1 − lω 2 A2 = 0
(b) − lω 2 A1 + � g − lω 2� A2 = 0 . (3.119)
Damit eine Lösung des Gleichungssystems (3.119) existiert, muss die Determinante
�
�
�
� 2 � g − lω2� −lω2 −lω2 �
g − lω2 �
�
�
�
� = 2 � g − lω 2�2 2 4
− l ω = 0
verschwinden. Diese Bedingung führt auf
mit den beiden Lösungen
ω 2 1 =
ω 4 − 4g
l ω2 �
g
�2 + 2 = 0 ,
l
�
2 + √ �
g
2
l , ω2 �
1 = 2 − √ �
g
2
l
Aus Gleichung (3.119 b) folgt für die Amplituden
Für die erste Lösung
und
ω 2 = ω 2 1 folgt lω 2 1 =
A2
A1
=
= −
. (3.120)
A2 = lω2
g − lω 2 A1 . (3.121)
2 + √ 2
1 − � 2 + √ 2 � = −2 + √ 2
1 + √ 2
� √ � � √ �
2 + 2 1 − 2
1 − 2
�
2 + √ �
2 g
= 2 + √ 2 − 2 √ 2 − 2 = − √ 2 ,
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