R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
Nach Gleichung (6.54) erhalten wir für
Θ11 = ρ
= ρ
= ρb
= ρb
� b
0
� b
0
� b
0
� b
weil M = ρb 3 . Ebenso folgt
0
dx3
dx3
Θ12 = −ρ
� b
0
� b
0
� b
dx2
dx2
� b
0
� b
0
�� 2
dx1 x1 + x 2 2 + x 2� � 2
3 − x1 � 2
dx1 x2 + x 2� 3
� 2
dx3 dx2 x2 + x
0
2� 3
�
b3 dx3
3 + x2 � � �
b4 b4
3b = ρb + =
3 3
2
3 ρb5 = 2
3 Mb2 ,
= −ρb
� b
0
� b
0
dx3
� b
0
dx2x2
dx2
� b
0
� b
0
dx1x1x2
dx1x1 = − 1
4 ρb5 = − 1
4 Mb2 .
Alle anderen Nichtdiagonalkomponenten sind gleich Θ12 und alle Diagonalkomponenten
gleich Θ11.
6.4.2 Trägheitsmoment
Mithilfe von Gleichung (6.52) schreibt sich die kinetische Energie der Rotation (6.49) als
Trot = 1
2 �ω · � L = 1
� �
�ω · ˆΘ�ω
2
. (6.55)
Rotiert der starre Körper um eine feste Drehachse �n (siehe Abb. 6.9), so gilt
und wir erhalten für Gleichung (6.55)
mit dem skalaren Trägheitsmoment bezüglich der Achse �n
212
�ω = ω�n , (6.56)
Trot = 1
� �
ω�n · ˆΘω�n =
2 ω2
2 Θ�n , (6.57)
� �
Θ�n ≡ �n · ˆΘ�n =
3�
i=1 j=1
3�
Θijninj . (6.58)