R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6 Bewegung des starren Körpers
y’
χ’ = z’
η’
ψ
ξ’
x’
Abbildung 6.16: Ergebnis der 3. Drehung
 ist wieder eine orthogonale Matrix, weil sie aus der Multiplikation orthogonaler Matrizen
entsteht. Deshalb ist die inverse Matrix Â−1 = ÂT , die Vektoren von körperfesten in
raumfeste Koordinaten transformiert, d.h.
�x = Â−1�x ′
= ÂT �x ′
, (6.103)
gleich der transponierten Matrix ÂT , die man durch Vertauschen von Zeilen und Spalten aus
 erhält.
6.8 Lagrange-Mechanik des starren Körpers
6.8.1 Lagrange-Funktion des Kreisels
Als körperfeste Achsen wählen wir die Hauptachsen des starren Körpers. Nach Gleichung
(6.70) erhalten wir dann für die Rotationsenergie
Trot = Θ1
2 ω2
x
′ + Θ2
2 ω2
y
′ + Θ3
2 ω2′
. (6.104)
z
Die zur Winkelgeschwindigkeit �ω gehörende allgemeine infinitesimale Drehung kann so aufgefasst
werden, als bestünde sie aus drei aufeinanderfolgenden infinitesimalen Drehungen mit
den Winkelgeschwindigkeiten ωφ = ˙ φ, ωθ = ˙ θ und ωψ = ˙ ψ, so dass
oder komponentenweise (a) ω x ′ = ˙ φ x ′ + ˙ θ x ′ + ˙ ψ x ′
228
�ω = ˙ � φ + ˙ �θ + ˙ �ψ , (6.105)
(b) ω y ′ = ˙ φ y ′ + ˙ θ y ′ + ˙ ψ y ′
(c) ω z ′ = ˙ φ z ′ + ˙ θ z ′ + ˙ ψ z ′ . (6.106)