R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.12.5 Noether-Theorem für autonome Systeme
3.12 Symmetrien und Erhaltungssätze
Wie wir gesehen haben, hängt das Auftreten zyklischer Variablen und damit die Existenz von
Bewegungsintegralen eng zusammen mit Symmetrien des Systems. Eine solche Symmetrie
liegt vor, wenn die Lagrange-Funktion des Systems gegenüber einer Symmetrietransformation
der Variablen:
˜qi = hi(qi, α) (3.220)
invariant ist, wenn also gilt
L � ˜qi, ˙˜qi, t � = L (qi, ˙qi, t) . (3.221)
Dabei ist die Transformation von einem Parameter α abhängig, mit der Bedingung, dass sich
für α = 0 die identische Transformation ergibt:
hi (qi, 0) = qi .
Bei einer zyklischen Variablen qk besteht die Symmetrietransformation in einer Verschiebung
um α längs der qk-Achse im Konfigurationsraum:
˜qk = qk + α ,
bei der die Lagrange-Funktion sich natürlich nicht ändert, da sie gar nicht von qk abhängt.
Im allgemeinen Fall gilt für autonome Systeme, für die also L nicht explizit von der Zeit
abhängt, das
Theorem von Emmy Noether: Die Lagrange-Funktion L(�q, ˙ �q) sei unter der Transformation
˜qi = hi(�q, α) invariant, wobei α ein kontinuierlicher Parameter und hi(�q, 0) = qi
die Identität ist. Es existiert dann ein Bewegungsintegral
G (qi, ˙qi) =
s�
i=1
�
∂L d
∂ ˙qi dα hi
�
(�q, α)
α=0
. (3.222)
Beweis:
Zum einen erfüllen auch die transformierten Bahnen ˜qi(t, α) = hi(qi(t), α) die Lagrange-
Gleichungen:
� � � �
d ∂L ˜�q(t, ˙˜ α), �q(t, α) ∂L ˜�q(t, ˙˜ α), �q(t, α)
=
dt ∂ ˙qi
∂qi
. (3.223)
Andererseits soll nach Voraussetzung L invariant gegenüber Symmetrietransformationen sein,
also nicht von α abhängen:
d
dα L
� �
˜�q(t, ˙˜ α), �q(t, α)
= d
dα L
�
�q(t, α), ˙ �
�q(t, α)
s�
� �
∂L dqi ∂L d ˙qi
=
+
∂qi dα ∂ ˙qi dα
i=1
= 0 . (3.224)
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