R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

5 Hamilton-Mechanik
Nach der Definition (5.8) folgt dann für die Hamilton-Funktion
H = �p · �v − L = �p
m ·
�
�p − e
c � �
A − 1
�
�p −
2m
e
c � �2 A + eΦ − e
c � �
A · �p − e
mc � �
A
�
= eΦ + �p − e
c � � �
�p �p e
A · − +
m 2m 2mc � A − e
mc � �
A
= 1
�
�p −
2m
e
c � �2 A + eΦ . (5.20)
5.1.7 Beispiel 3: Das Pendel im Schwerefeld
Nach Kap. 3.2 gilt für die Lagrange-Funktion
L = T − V = m
2 l2 ˙ φ 2 − mgl (1 − cos φ) .
Für den kanonisch konjugierten Impuls erhalten wir dann
Die Hamilton-Funktion lautet dann
pφ = ∂L
∂ ˙ φ = ml2 ˙ φ .
H = T + V = E = p2 φ
+ mgl (1 − cos φ) . (5.21)
2ml2 Die kanonischen Bewegungsgleichungen sind dann
˙pφ = − ∂H
∂φ
Die zweite Gleichung liefert
= −mgl sin φ ,
˙
˙pφ = ml 2 ¨ φ
φ = ∂H
∂pφ
= pφ
.
ml2 und das Gleichsetzen mit der ersten kanonischen Gleichung führt auf die bekannte (vgl. mit
(3.27)) Bewegungsgleichung
¨φ + g
sin φ = 0 .
l
Aus Gleichung (5.21) erhalten wir für die Bahn im Phasenraum pφ = pφ(φ)
pφ = ± � 2ml 2 (E − mgl + mgl cos φ) . (5.22)
Wie in Abb. 5.3 skizziert, ist die sich ergebende Kurvenschar vom Wert der Gesamtenergie
E abhängig.
Solange E < 2mgl, erhalten wir geschlossene, ellipsenähnliche Kurven; das Pendel schwingt
hin und her. Dies entspricht natürlich dem in Kap. 3.2.2 diskutierten Schwingungsfall.
Für E > 2mgl hat das Pendel selbst in den Punkten φ = ±π noch kinetische Energie
und schwingt ohne Richtungsumkehr weiter. Dies entspricht dem in Kap. 3.2.5 diskutierten
Rotationsfall.
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