R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwerefeld
3.2.1 Mathematischer Einschub: Elliptische Integrale und Elliptische
Funktionen
Wir können die trigonometrische Funktion y = sin Θ über das Integral
� y
0
ds
� (1 − s 2 ) = Θ (3.15)
definieren, denn das Integral auf der linken Seite (LHS) dieser Gleichung ist
LHS =
� y
0
ds
� (1 − s 2 ) = arcsin(y) ,
so dass die Umkehrung dieser Gleichung gerade y = sin Θ ergibt. Bekanntlich hat die Sinus-
Funktion die Periode η = 2π, d.h. sin(Θ+η) = sin Θ. Wir können die Periode η auch ebenso
durch die Gleichung
η
4 =
� 1 ds
� = arcsin(1) =
0 (1 − s2 ) π
2
festlegen.
Nun verallgemeinern wir die Gleichung (3.15). Sei
� z
0
(3.16)
ds
� (1 − s 2 ) (1 − K 2 s 2 ) = u . (3.17)
Im Fall K = 0 ergibt sich gerade wieder Gleichung (3.15). Für Werte von K �= 0 nennen wir
die durch Gleichung (3.17) definierte Funktion
z = sn u , (3.18)
deren Verhalten vom Wert von K abhängt. Ganz analog zur Sinus-Funktion definieren wir
die Umkehrfunktion zu (3.18) mit z = sin φ
u = F (φ, K) =
� sin φ
0
ds
� (1 − s 2 ) (1 − K 2 s 2 )
(3.19)
als unvollständiges elliptisches Integral 1.Art. Ebenfalls analog zu (3.16) definieren wir die
Periode ξ der sn -Funktion durch
ξ
4 =
� 1
0
ds
� (1 − s 2 ) (1 − K 2 s 2 ) = F
�
π
�
, K
2
was man als vollständiges elliptisches Integral 1. Art bezeichnet.
Die Substitution s = sin α überführt Gleichung (3.19) in
F (φ, K) =
� φ
0
, (3.20)
dα
� 1 − K 2 sin 2 α . (3.21)
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