R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

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5 Hamilton-Mechanik Damit erhalten wir mit (5.147) mit den Rechenregeln für Determinanten (2 Summanden, Faktoren in einer Spalte herausziehen) � � ∂ (qi, pi) � � � ∂qi ∂ � ∂u k = � ∂(u, v) � i i 2F2(q,P,t) � ∂Pk ∂ ∂qi∂Pk ∂u + k 2F2(q,P,t) ∂qk ∂qi∂qk ∂u � ∂qi ∂ ∂v k 2F2(q,P,t) � ∂Pk ∂ ∂qi∂Pk ∂v + k 2 � � � F2(q,P,t) � ∂qk � ∂qi∂qk ∂v = � � ∂ i k 2 � � F2 (q, P, t) � ∂qi ∂Pk � � ∂u ∂u � ∂qi∂Pk � ∂qi ∂Pk � ∂v ∂v + � � ∂2 � � F2 (q, P, t) � ∂qi ∂qk � � ∂u ∂u � ∂qi∂qk � � . i k Die Terme der zweiten Reihe sind antisymmetrisch bezüglich der Vertauschung der Indizes i und k, da dabei die zwei Spalten der Determinante vertauscht werden. Der Wert der Summe darf aber nicht durch Vertauschen der Indizes beeinflusst werden; demnach muss die zweite Reihe identisch verschwinden. Wir dürfen an ihre Stelle eine ähnlich konstruierte Reihe setzen, deren Summe ebenfalls Null ist: � i ∂ (qi, pi) ∂(u, v) ∂qi ∂v � � ∂ = i k 2 � F2 (q, P, t) � � ∂qi∂Pk � + � � ∂2 � F2 (q, P, t) � � ∂Pi∂Pk � i k Die Operation der Entwicklung der Determinantensumme kann nun umgekehrt werden, allerdings soll in der Determinante jetzt die Summe über i und nicht über k gebildet werden. Z.B. in der 1. Spalte der Determinante tritt die Summe auf: � ∂2F2 (q, P, t) ∂qi � ∂ + ∂qi∂Pk ∂u 2F2 (q, P, t) ∂pi ∂Pi∂Pk ∂u i i ∂qk ∂v ∂qi ∂u ∂qi ∂v = ∂ ∂u ∂pi ∂u ∂pi ∂v ∂Pk ∂u ∂Pk ∂v � � � � ∂Pk ∂u ∂Pk ∂v � � ∂F2 ∂Pk � � � � . = ∂Qk ∂u , wobei wir im letzten Schritt Gleichung (5.64) benutzt haben. Damit reduziert sich die Determinantensumme auf � � � ∂ (qi, pi) � � ∂Qk ∂Pk � � = � ∂u ∂u � ∂ (Qk, Pk) ∂(u, v) � � = ∂(u, v) i k ∂Qk ∂v Q.E.D. Auf ähnliche Weise – der Beweis ist jedoch komplizierter – kann man die Invarianz von � � � � � J2 = dqidpidqkdpk S bei kanonischer Transformation zeigen, wobei S eine beliebige vierdimensionale Fläche des 2n-dimensionalen Phasenraums ist. Diese Kette von Integralinvarianten kann schließlich erweitert werden auf die Invarianz von � � Jn = · · · dq1 . . . dqndpi . . . dpn , 196 i,k ∂Pk ∂v k
5.8 Integralinvarianten von Poincare wobei das Integral über ein beliebiges Gebiet des Phasenraums ausgedehnt werden kann. Die Invarianz von Jn ist der Feststellung gleichwertig, dass das Volumen im Phasenraum gegenüber kanonischen Transformationen invariant ist. Daraus folgt, dass das Volumen im Phasenraum zeitlich konstant ist, da wir die zeitliche Entwicklung durch infinitesimale kanonische Transformationen darstellen können (für mehr Details siehe Goldstein, Kap. 8.6). 197
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Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ Φ
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Inhaltsverzeichnis 0 Einleitung 1 0
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Inhaltsverzeichnis 3.2.1 Mathematis
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Inhaltsverzeichnis 5.2.3 Poisson-Th
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Inhaltsverzeichnis vii
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0 Einleitung 0.1 Vorbemerkung Diese
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1 Vektorrechnung 1.1 Grunddefinitio
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a b a + b b 1.2 Vektoroperationen A
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a b φ a b 1.2 Vektoroperationen Ab
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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1.3 Komponentendarstellung von Vekt
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(A1.4.1) Beweisen Sie die Identitä
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1.6 Anwendungen der Vektorrechnung
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1.7 Differentiation und Integration
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1.7.2 Integration von Vektoren 1.8
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x z φ z r Abbildung 1.12: Zur Einf
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(ρ cos φ, ρ sin φ, z). Mit Glei
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is zur ersten Ordnung ergibt: dψ =
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1. auf eine skalare Funktion T (�
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1.9.4 Rotation 1.9 Vektorielle Diff
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jeweils zwei für Gradienten, Diver
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Einheitsvektoren mit dem Skalenfakt
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1.11 Differentialoperatoren in krum
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1.11.6 Beispiel: Kugelkoordinaten M
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2 Newtonsche Mechanik Die klassisch
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.1 Das Physikalische Weltbild vor
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2.2 Die Newtonschen Axiome einen Or
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2.2 Die Newtonschen Axiome Newton p
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2.2 Die Newtonschen Axiome allein i
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2.3.2 Arbeit 2.3 Grundbegriffe der
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Für die elastische Kraft 2.3 Grund
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2.4 Integration der Bewegungsgleich
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2.4.3 Konservatives Kraftfeld F = f
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2.5 Reibung Die Wurfdauer ergibt si
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und durch direkte Integration � t
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3 Analytische Mechanik 3.1 Eingesch
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m Z l y φ K= mge 2 Abbildung 3.2:
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.2 Beispiel 2: Das Pendel im Schwe
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3.3 Beschreibung von Flächen und K
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3.4.1 Wieder Beispiel 1: Schiefe Eb
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3.4.2 Allgemeiner Fall 3.4 Lagrange
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3.5 Energieerhaltungssatz im Fall v
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3.6 Das Prinzip von d’Alembert (b
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Mul
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3.7 Lagrange-Gleichungen 2. Art Ein
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3.8.2 Atwoodsche Fallmaschine 3.8 E
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so sind die Koeffizienten (3.101) u
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l + l 1 2 folgt für die kinetische
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3.9 Weitere Anwendungen dessen Lös
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3.10.1 Beispiele x 1 y (x) 3.10 Exk
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α = 0 liefert den Extremalwert J(
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3.10 Exkurs über Variationsprinzip
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Setzen wir dies in Gleichung (3.148
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3.11 Hamiltonsches Prinzip Weil die
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Durch Aufsummieren folgt sowohl als
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x R Θ l φ 3.11 Hamiltonsches Prin
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3.12 Symmetrien und Erhaltungssätz
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y r y’ K K’ V r’ 3.12 Symmetr
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3.12.5 Noether-Theorem für autonom
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3.13 Geschwindigkeitsabhängige Kr
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Weil � A(�r, t) nicht von der G
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Es ist �vi · ∂�vi ∂ ˙ qj
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so dass wir den Virial-Satz erhalte
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4 Das Zweikörper-Problem Wir betra
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4.2 Relativbewegung schreiben könn
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wir mit Gleichung (4.19) für die
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Durch Integration erhalten wir r mi
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4.3 Kepler-Problem: Planetenbewegun
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4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
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4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
Seite 157 und 158: 4.4 Mathematische Zwischenbetrachtu
Seite 159 und 160: 4.5 Fortsetzung des Kepler-Problems
Seite 163 und 164: a b ψ c = aε 4.5 Fortsetzung des
Seite 167 und 168: 4.6 Hyperbelbahnen f(φ) kann das V
Seite 169 und 170: Aphel rmax rmin m1 Perihel Abbildun
Seite 171 und 172: 4.8 Das Streuproblem des Targetteil
Seite 173 und 174: Benutzen wir Θ = π − 2φG , so
Seite 175 und 176: 5 Hamilton-Mechanik Mit der Hamilto
Seite 177 und 178: 5.1 Hamiltonsche Bewegungsgleichung
Seite 179 und 180: p Amω A A 5.1 Hamiltonsche Bewegun
Seite 181 und 182: π 2 p φ 5.1 Hamiltonsche Bewegung
Seite 183 und 184: Definition : Wir definieren die Poi
Seite 185 und 186: Gleichung, so folgt d [f, g] = dt =
Seite 187 und 188: Aus den Gleichungen (5.52) und (5.5
Seite 189 und 190: 5.3 Kanonische Transformationen wei
Seite 191 und 192: 5.3 Kanonische Transformationen ver
Seite 193 und 194: 5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung 5.4 H
Seite 195 und 196: 5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung Das s
Seite 197 und 198: 5.4 Hamilton-Jacobi-Gleichung (e) M
Seite 199 und 200: 5.6 Separation der Variablen Die Ko
Seite 201 und 202: 5.6 Separation der Variablen Die HJ
Seite 203 und 204: 5.6.2 Beispiel: Teilchen im Schwere
Seite 205 und 206: 5.7 Satz von Liouville Bezeichnen w
Seite 207: Satz von Poincare: Das Integral �
Seite 211 und 212: 6 Bewegung des starren Körpers 6.1
Seite 213 und 214: x’ x z z’ y’ y 6.1 Kinematik
Seite 215 und 216: wobei ɛik infinitesimal klein sein
Seite 217 und 218: e 1 dφ d Ω e 3 x’ x Θ Θ Abbi
Seite 219 und 220: ω r K θ F Zentr. Abbildung 6.5: Z
Seite 221 und 222: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 223 und 224: 6.4 Trägheitstensor und Hauptachse
Seite 225 und 226: O 6.4 Trägheitstensor und Hauptach
Seite 227 und 228: Mit �rα = � R + �r ′ α od
Seite 229 und 230: 6.4.5 Hauptachsentransformation 6.4
Seite 231 und 232: 6.5 Das Trägheitsellipsoid Setzen
Seite 233 und 234: 6.6 Die Eulerschen Gleichungen mit
Seite 235 und 236: ω (ω ,ω ,0) 1 2 e 1 e 3 6.6 Die
Seite 237 und 238: 6.7 Die Eulerschen Winkel 6.7 Die E
Seite 239 und 240: χ’ θ χ η’ ξ = ξ’ Abbild
Seite 241 und 242: 6.8 Lagrange-Mechanik des starren K
Seite 243 und 244: Für den symmetrischen Kreisel ist
Seite 245 und 246: 6.8 Lagrange-Mechanik des starren K
Seite 247 und 248: Aus der Lagrange-Funktion (6.119) f
Seite 249 und 250: 7 Spezielle Relativitätstheorie Ei
Seite 251 und 252: 7.1 Die Lorentz-Transformation Die
Seite 253 und 254: folgen mit den Gleichungen (7.23)
Seite 255 und 256: Zum einen gilt nach dem Transformat
Seite 257 und 258: 7.2 Minkowski-Raum 7.2 Minkowski-Ra
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7.3 Lagrange-Formulierung der relat
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7.3 Lagrange-Formulierung der relat
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8 Kosmologie fast ohne Allgemeine R
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8.3 Dichte und Druck des Universums
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8.3.4 Quintessenz 8.4 Vakuumdruck N
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8.5.3 Vakuum Für das Vakuum erhalt
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8.7 Zukünftige Beschleunigung des
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8.8 Rotverschiebung, Lichtlaufzeit
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Für Ωm0 < 1 gilt τ (r, Ωm0 <
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A Anhang A.1 Mathematischer Anhang
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A.2 Empfohlene Literatur A.2.1 Büc
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