R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Damit erhalten wir auf der linken Seite von Gleichung (4.86)
β sin η cos α − β sin α cos η = β sin(η − α)
= − ɛ3
3! sin3 (M + η) + ɛ5
5! sin5 (M + η) − . . . ,
oder sin(η − α) = − ɛ3
6β sin3 (M + η) + ɛ5
120β sin5 (M + η) − . . . . (4.89)
Gleichung (4.88) zeigt, dass β = O(1), so dass nach Gleichung (4.89) η − α � O(ɛ 3 ).
Vernachlässigen wir den Term proportional zu ɛ 5 in Gleichung (4.89) und schreiben α für η
im ersten Term auf der rechten Seite dieser Gleichung, so folgt
sin(η − α) � − ɛ3
6β sin3 (M + α) . (4.90)
Dieser Ausdruck ist genau bis zur Ordnung O(ɛ 4 ). Für ɛ = 0.1 ist der erste vernachlässigte
Term von der Größe (ɛ 5 /120) � 10 −7 .
Aus Gleichung (4.90) folgt direkt
und mit Gleichung (4.84)
wobei gemäß Gleichung (4.87)
4.6 Hyperbelbahnen
�
η = α + arcsin − ɛ3
6β sin3 �
(M + α)
�
ψ � M + α + arcsin − ɛ3
6β sin3 �
(M + α)
α = arctan
ɛ sin M
1 − ɛ cos M .
, (4.91)
Unter dem Einfluss eines gegenseitigen Keplerpotentials bewegen sich die beiden Massenpunkte
auf Hyperbelbahnen, wenn (siehe Gleichung (4.41))
ɛ =
�
1 + 2l2E > 1 .
µα2 Die Gesamtenergie E = Veff + µ/2 ˙r 2 > 0 ist dann immer positiv (selbst bei r → ∞) und
dieser Fall führt auf ungebundene Bahnen.
Wir schreiben Gleichung (4.43) als
154
r(φ) = p
, mit f(φ) = 1 + ɛ cos φ , (4.92)
f(φ)