R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3.10 Exkurs über Variationsprinzipien
Vergleichen wir Gleichung (3.139) mit dem allgemeinen Ausdruck (3.122), so erkennen wir,
dass bis auf die Konstante (2g) −1/2 das Funktional f durch
gegeben ist. Weil für dieses Funktional
f(y, y ′
; x) =
∂f
∂y
gilt, folgt gemäß der Euler-Gleichung (3.135)
oder
mit einer geeignet gewählten Konstanten a.
Aus Gleichung (3.140) folgt
� 1 + y ′ 2
x
(3.140)
= 0 (3.141)
d ∂f
dx ∂y ′ = 0 ,
∂f
∂y ′ = 1
√
2a
= const. , (3.142)
∂f
∂y ′ =
Das Gleichsetzen mit (3.142) liefert dann
oder
�
so dass y =
Substituieren wir
(2a − x) 1
2
y ′
� x (1 + y ′ 2) . (3.143)
y ′ 2
x (1 + y ′ =
2 ) 1
2a ,
� �2 dy
x
= , (3.144)
dx 2a − x
x
dx
1 �
2
x
= dx √ . (3.145)
2ax − x2 so dass dx = a(sin Θ)dΘ ,
in Gleichung (3.145), dann ergibt sich
y =
�
�
= a
�
= a
x = a(1 − cos Θ) , (3.146)
a
dΘ
2 (1 − cos Θ) sin Θ
�
2a2 (1 − cos Θ) − a2 (1 − cos Θ) 2
(1 − cos Θ) sin Θ
dΘ √
1 − cos2 Θ
dΘ(1 − cos Θ) = a(Θ − sin Θ) + c1 . (3.147)
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