R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

3 Analytische Mechanik
d.h. die Massenpunkte schwingen mit entgegengesetzter Amplitude mit der Frequenz
�� ω1 = 2 + √ �
g
2
l .
Für die zweite Lösung
und
ω 2 = ω 2 2 folgt lω 2 2 =
A2
A1
=
�
2 − √ �
2 g
2 − √ 2
1 − � 2 − √ 2 � = 2 − √ 2
�
√ = 2 −
2 − 1 √ � �
2 1 + √ �
2 = √ 2 ,
d.h. die Massenpunkte schwingen mit gleichgerichteter Amplitude mit der Frequenz
�� ω2 = 2 − √ �
g
2
l .
3.10 Exkurs über Variationsprinzipien
Wir formulieren zuerst das Grundproblem der Variationsrechnung:
Bestimme die Funktion y(x) so, dass das Integral
J =
� x2
x1
dx f
�
y(x), y ′
�
(x); x
(3.122)
ein Extremum (entweder Maximum oder Minimum) annimmt. Dabei bezeichnet y ′
(x) =
dy/dx die Ableitung der Funktion y(x) und das Funktional f wird als gegeben angenommen,
wie auch die Integrationsgrenzen x1, x2 (letztere Annahme ist nicht unbedingt notwendig).
Man variiert die Funktion y(x) solange, bis ein Extremwert für das Integral (3.122) gefunden
ist; d.h. ergibt sich für irgendeine Funktion z.B. ein Minimalwert für das Integral J, so muss
jede Nachbarfunktion das Integral J größer machen.
Für die Nachbarfunktion benutzen wir die parametrische Darstellung y = y(α, x) derart,
dass für α = 0 y = y(0, x) = y(x) die Funktion ist, die einen Extremwert für J ergibt. Wir
schreiben dann
y(α, x) = y(0, x) + αη(x) , (3.123)
wobei die Funktion η(x) eine stetige erste Ableitung hat und an den Endpunkten verschwindet
(η(x1) = η(x2) = 0) (siehe Abb. 3.7).
Mit Funktionen der Art (3.123) wird das Integral (3.122) vom Parameter α abhängig:
J(α) =
� x2
x1
dx f
�
y(α, x), y ′
�
(α, x); x
. (3.124)
Eine notwendige Bedingung für den Extremwert ist dann
� �
∂J(α)
∂α
= 0 , ∀η(x) . (3.125)
96
α=0