R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

4 Das Zweikörper-Problem
Wir merken an, dass bei der Planetenbewegung die Masse der Sonne m1 = Ms sehr viel
größer als die Masse des Planeten m2 = mp ist. In diesem Fall Ms ≫ mp folgt aus den
Gleichungen (4.3)–(4.4)
�rS = � R −
mp
Ms + mp
�r � � R , �rp = � R + Ms
Ms + mp
�r � � R + �r , (4.5)
so dass bei der speziellen Wahl des Schwerpunktsystems ( � R = �0) die Sonne im Urprung liegt
(�rS � �0) und der Planetenortsvektor mit dem Abstandsvektor �rp � �r zusammenfällt.
Da die Massenpunkte gegenseitig Zentralkräfte ausüben, kann das zugehörige Potential nur
eine Funktion des Abstands r = |�r| sein. Mit den Transformationen (4.3)–(4.4) erhalten wir
im allgemeinen Fall für die Lagrange-Funktion des Zweikörper-Problems
L = m1
= m1
2
Neben der Gesamtmasse
2 ˙ �r 2 1 + m2
2 ˙ �r 2 2 − V (|�r2 − �r1|)
+ m2
2
= m1 + m2
2
= m1 + m2
2
� ˙�R 2 − 2m2
m1 + m2
� ˙�R 2 + 2m1
m1 + m2
˙�R · ˙ �r +
˙�R · ˙ �r +
m 2 2
(m1 + m2) 2 ˙ �r 2
�
m 2 1
(m1 + m2) 2 ˙ �r 2
�
− V (r)
˙�R 2 + m1m2 (m1 + m2)
2 (m1 + m2) 2
˙�r 2 − V (r)
˙�R 2 +
m1m2
2 (m1 + m2) ˙ �r 2 − V (r) . (4.6)
M = m1 + m2
definieren wir die sogenannte reduzierte Masse zu
µ ≡ m1m2
m1 + m2
(4.7)
. (4.8)
Gleichung (4.8) lässt sich auch als Summe der inversen Massen schreiben:
1
µ = 1
+
m1
1
m2
Für die Gesamt-Lagrange-Funktion (4.6) erhalten wir dann
L = M
2
die wir als Summe eines Schwerpunktanteils
und eines Relativanteils
132
. (4.9)
˙�R 2 + µ
2 ˙ �r 2 − V (r) = LSp + Lrel , (4.10)
LSp = M
2
˙�R 2
(4.11)
Lrel = µ
2 ˙ �r 2 − V (r) (4.12)