R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

8 Kosmologie fast ohne Allgemeine
Relativitätstheorie
In diesem Abschnitt wollen wir die Friedmann-Gleichung für ein Newtonsches Universum
ableiten, in dem alle Bewegungen nichtrelativistisch sind und die Gravitation aufgrund der
Anziehung zwischen Massen zustandekommt. Wir folgen dabei der Arbeit von Jordan (Am.
J. Phys. 73, 653 (2005)).
Die Friedmann-Gleichung entspricht dann der Energieerhaltungsgleichung für die Bewegung
einer Galaxie (= Milchstraße) im expandierenden Universum. Durch Ersetzen der Massendichte
durch die dazugehörige Energiedichte ergibt sich dann exakt die Friedmann-Gleichung
der allgemeinen Relativitätstheorie. Berücksichtigt man die geleistete Arbeit durch den Druck
des expandierenden Universums, so folgen die zwei Einstein-Gleichungen, die die Expansion
des Universums beschreiben. Ergänzt wird dieses Gleichungssystem durch die Einbeziehung
von Strahlungsdruck und Vakuumdruck. Wie wir sehen werden, können wir damit die grundlegende
zeitliche Entwicklung des Universums nachvollziehen.
8.1 Die Friedmann-Gleichung
Zwei Gleichungen der Kosmologie bestimmen die Expansion des Universums. Beide lassen
sich als Energiegleichungen verstehen. Die eine besagt, dass für die Bewegung einer Galaxie
im Universum die Summe aus kinetischer und potentieller Energie konstant ist. Die andere
beschreibt die geleistete Arbeit, die durch den Druck im expandierenden Universum entsteht.
Die Expansion des Universums wird beobachtet als Bewegung von Galaxien zueinander. Das
Universum verhält sich wie ein expandierendes Gas von Massenpunkten, wobei die einzelnen
Galaxien den Massenpunkten entsprechen: eine einzelne Galaxie expandiert nicht. Hubble
hat herausgefunden, dass die Geschwindigkeiten der sich von uns fortbewegenden Galaxien
proportional ist zum Abstand R von uns:
dR
dt
= HR , (8.1)
wobei H als Hubble-Parameter bezeichnet wird.
Die Gültigkeit des Hubble-Gesetzes (8.1) ist in einem sphärisch isotropen homogenen Universum
zu erwarten. Wir nehmen an, dass es genauso gilt für Beobachter an jedem anderen Ort
des Universums. Wir nehmen weiter an, dass das Universum in der Tat homogen ist, überall
gleich zu jeder Zeit. Gegenwärtig kann diese Homogenität natürlich nur für Längenskalen
gelten, die größer als Galaxienhaufen sind.
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