R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Für den symmetrischen Kreisel ist Θ1 = Θ2 und mit
6.8 Lagrange-Mechanik des starren Körpers
ω 2
′ + ω2
x y ′ = ˙ φ 2 sin 2 θ + ˙ θ 2
reduziert sich die Lagrange-Funktion (6.115) auf
L = Θ1
2
�
˙φ 2 2
sin θ + θ˙ 2 �
+ Θ3
� �
˙φ 2 2
cos θ + ψ˙ 2
+ 2φ˙ ψ˙ cos θ − V (φ, θ, ψ) , (6.117)
2
wobei Θ1 und Θ3 die Hauptträgheitsmomente bezüglich des gewählten Ursprungs des körperfesten
Koordinatensystems sind.
Die potentielle Energie ist einfach
V = Mgl cos θ , (6.118)
wobei M die Masse des Kreisels ist. Dann erhalten wir für die Lagrange-Funktion (6.117)
L = Θ1
2
�
˙φ 2 2
sin θ + θ˙ 2 �
+ Θ3
� �
˙φ 2 2
cos θ + ψ˙ 2
+ 2φ˙ ψ˙ cos θ − Mgl cos θ . (6.119)
2
Die Koordinaten φ und ψ sind zyklisch, so dass pφ und pψ Erhaltungsgrößen sind:
pφ = ∂L
∂ ˙ φ = Θ1 ˙ φ sin 2 � �
θ + Θ3
˙ψ + φ˙ cos θ cos θ = const (6.120)
pψ = ∂L
∂ ˙ ψ
= Θ3
� �
˙ψ + φ˙ cos θ
Setzen wir Gleichung (6.121) in Gleichung (6.120) ein, so folgt
oder ˙ φ = pφ − pψ cos θ
Θ1 sin 2 θ
mit dem Integral φ(t) − φ (t0) =
falls die Lösung θ(t) bekannt ist.
Nach Gleichung (6.121) ist ebenfalls
˙ψ = pψ
Θ3
= const . (6.121)
pφ = Θ1 ˙ φ sin 2 θ + pψ cos θ , (6.122)
� φ(t)
φ(t0)
− ˙ φ cos θ = pψ
Θ3
dφ =
� t
, (6.123)
dt ′ pφ
�
− pψ cos θ t ′�
, (6.124)
t0
Θ1 sin 2 θ (t ′ )
− cos θ pφ − pψ cos θ
Θ1 sin 2 θ
, (6.125)
wobei wir Gleichung (6.123) eingesetzt haben. Die Integration dieser Gleichung liefert
� ψ(t) � t
ψ(t) − ψ (t0) = dψ = dt ′
⎡
⎣ pψ
Θ3
�
− cos θ t ′� pφ
�
− pψ cos θ t ′�
Θ1 sin2 θ (t ′ ⎤
⎦ ,
)
(6.126)
ψ(t0)
bei bekannter Lösung θ(t).
t0
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