R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

Setzen wir dies in Gleichung (3.148b) ein, so folgt der Zusammenhang
y(x) = − � 2ax − x 2 + a arccos
3.10 Exkurs über Variationsprinzipien
a − x
a
. (3.150)
Für die Fallzeit (3.139) ergibt sich mit Gleichung (3.144)
t12 =
� 2 1
√ dx
2g 1
1
�
√ 1 +
x
x
2a − x =
=
=
� � x2 a dx
√
g 0 2ax − x2 � �
�x2 � �
�
a a − x a
a − x2
− arcsin = arcsin 1 − arcsin
g
a 0 g
a
� � � �
a π a − x2 a a − x2
− arcsin = arccos .
g 2 a g a
(3.151)
3.10.4 Verallgemeinerung auf mehrere unabhängige Variablen
Bisher haben wir die Euler-Gleichung (3.135) nur für eine Funktion y(x) abgeleitet, die von
einer Variablen x abhing. Jetzt verallgemeinern wir auf den Fall, dass das Funktional f von
mehreren unabhängigen Funktionen yi und ihren Ableitungen y ′
i abhängt:
�
f = f y1(x), y ′
1(x), y2(x), y ′
�
2(x), . . . ; x
�
oder kurz f = yi(x), y ′
�
i(x); x , i = 1, . . . , n . (3.152)
Dann führen wir wieder in Analogie zu Gleichung (3.123) die Nachbarfunktionen
yi(α, x) = yi(0, x) + αηi(x)
ein und erhalten völlig analog zu (3.134)
∂J(α)
∂α =
� x2 n�
�
∂f
dx
∂yi
x1
i=1
− d
�
∂f
dx ∂y ′
��
ηi(x) . (3.153)
i
Da die Variablen yi unabhängig voneinander sind, sind auch die Funktionen ηi unabhängig
voneinander. Für α = 0 folgt dann, dass alle einzelnen Integranden in der eckigen Klammer
von Gleichung (3.153) verschwinden müssen, d.h.
∂f
−
∂yi
d
�
∂f
dx ∂y ′
�
= 0 , i = 1, 2, . . . , n . (3.154)
i
Die Analogie der Euler-Gleichungen (3.154) zu den Lagrange-Gleichungen 2. Art (3.96) ist
offensichtlich mit den Ersetzungen
x → t , yi → qi , f (yi, ˙yi, t) → L (qi, ˙qi, t) . (3.155)
Mit diesen Ersetzungen ergeben sich aus den Euler-Gleichungen (3.154) dann die Lagrange-
Gleichungen
d ∂L
−
dt ∂ ˙qi
∂L
= 0 , i = 1, 2, . . . , n (3.156)
∂qi
und wir haben das Hamiltonsche Prinzip bewiesen.
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