R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

1 Vektorrechnung
| a|
cosφ
φ
b
a
φ
b
| b|
cosφ
Abbildung 1.4: Geometrische Darstellung des Skalarprodukts �a · � b
• Kommutativitätsgesetz �a · � b = � b · �a
• Distributivitätsgesetz �a · ( � b + �c) = �a · � b + �a · �c
Mit reeller Zahl p gilt
�
p �a · � �
b = (p�a) · �b .
Da der eingeschlossene Winkel zwischen zwei jeweiligen kartesischen Einheitsvektoren entweder
Null oder ein rechter (φ = π/2) Winkel ist, gelten die Orthonormalitätsrelationen
und die Orthogonalitätsrelationen
oder zusammenfassend
wobei das Kronecker-Symbol
eingeführt wurde.
�i ·�i = �j · �j = � k · � k = �ex · �ex = �ey · �ey = �ez · �ez = 1 (1.3)
�i · �j =�i · � k = �j · � k = �ex · �ey = �ex · �ez = �ey · �ez = 0 (1.4)
δνµ ≡
1.2.5 Kreuzprodukt von Vektoren
�eν · �eµ = δνµ
�
0 für ν �= µ
1 für ν = µ
a
(1.5)
(1.6)
Definition: Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt zweier Vektoren �a und �b ist durch
den Vektor
�a × � � � �
� � �
b ≡ ��a � �� �
�
b�
sin φ �n (1.7)
definiert, wobei �n den Einheitsvektor bezeichnet, der senkrecht auf der von �a und � b festgelegten
Ebene steht (Rechte-Hand-Regel). Der Betrag des Kreuzprodukts ist gleich dem
Flächeninhalt des von �a und � b gebildeten Parallelogramms (siehe Abb. 1.5).
Offensichtlich hat das Kreuzprodukt folgende Eigenschaften:
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