R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität
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6 Bewegung des starren Körpers<br />
Dabei vertauschen sich die Vorzeichen je nach Definition <strong>der</strong> Richtung <strong>der</strong> Drehung um die<br />
jeweilige Achse.<br />
Eine allgemeine infinitesimale Drehung wird durch die Matrix<br />
⎛<br />
1<br />
(I + E1) (I + E2) (I + E3) = ⎝−dφ3<br />
dφ3<br />
1<br />
⎞<br />
−dφ2<br />
dφ1 ⎠ ≡ I + E . (6.19)<br />
dφ2 −dφ1 1<br />
beschrieben, also ist<br />
⎛<br />
0<br />
E = ⎝−dφ3<br />
dφ3<br />
0<br />
⎞<br />
−dφ2<br />
dφ1 ⎠ (6.20)<br />
dφ2 −dφ1 0<br />
eine Matrix mit insgesamt drei Parametern dφ1, dφ2 <strong>und</strong> dφ3. Kann man diese zu einem Vektor<br />
zusammenfassen? Dazu betrachten wir den Vektor �x nach einer infinitesimalen Drehung:<br />
�x ′<br />
= (I + E)˜x <strong>und</strong> berechnen die Än<strong>der</strong>ung des Vektors d�x = �x ′<br />
− �x = (I + E)˜x − ˜x = E˜x,<br />
d.h.<br />
⎛ ⎞ ⎛<br />
dx1 0<br />
⎝dx2⎠<br />
= ⎝−dφ3<br />
dφ3<br />
0<br />
⎞ ⎛ ⎞ ⎛<br />
⎞<br />
−dφ2 x1 x2dφ3 − x3dφ2<br />
dφ1 ⎠ ⎝x2⎠<br />
= ⎝−x1dφ3<br />
+ x3dφ1⎠<br />
= �x × d<br />
dx3 dφ2 −dφ1 0 x3 x1dφ2 − x2dφ1<br />
� Ω , (6.21)<br />
d.h. d�x = �x × d� Ω kann als Kreuzprodukt von �x mit d� Ω dargestellt werden, wobei<br />
d� ⎛ ⎞<br />
dφ1<br />
Ω ≡ ⎝dφ2⎠<br />
. (6.22)<br />
dφ3<br />
d � Ω ist ein “Pseudovektor”, da er <strong>für</strong> Spiegelungstransformationen invariant ist (Beweis siehe<br />
Goldstein, Kap. 4.7).<br />
Betrachten wir als Beispiel noch einmal die Drehung um die �e3-Achse (siehe Abb. 6.4). Mit<br />
d � Ω = (0, 0, dφ3) folgt<br />
d�x = (x1, x2, x3) × (0, 0, dφ3) = (x2dφ3, −x1dφ3, 0) .<br />
Mit x1 = ρ sin φ3, x2 = ρ cos φ3 folgt<br />
�<br />
|d�x| = ρ2 cos2 φ3dφ2 3 + ρ2 sin2 φ3dφ2 3 = ρdφ3 .<br />
Damit haben wir nachträglich Gleichung (3.214) zur Darstellung infinitesimaler Drehungen<br />
bewiesen.<br />
Wir betrachten jetzt die infinitesimale Bewegung eines beliebigen Vektors � G im körperfesten<br />
Koordinatensystem. Gemäß unseren Ausführungen in Kap. 6.1 setzt sich diese zusammen<br />
aus <strong>der</strong> Bewegung des Körpers im raumfesten System <strong>und</strong> <strong>der</strong> Än<strong>der</strong>ung <strong>der</strong> Koordinaten<br />
von � G aufgr<strong>und</strong> <strong>der</strong> Drehung <strong>der</strong> Körperachsen:<br />
�<br />
d � �<br />
G<br />
körperfest =<br />
�<br />
d � �<br />
G<br />
raumfest +<br />
204<br />
�<br />
d � �<br />
G<br />
rot<br />
. (6.23)
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