R - Institut für Theoretische Weltraum- und Astrophysik der Universität

6.6 Die Eulerschen Gleichungen
mit dem äußeren Drehmoment � D = �r × � F . Mit der Operatorgleichung (6.28) folgt im
körperfesten Koordinatensystem der Drehimpulssatz zu
�
d� �
L
+ �ω ×
dt
K
� L = � D . (6.82)
Wählt man die körperfesten Achsen als die Hauptträgheitsachsen des starren Körpers, dann
ist nach Gleichung (6.69)
und Gleichung (6.82) führt auf
L1 = Θ1ω1 , L2 = Θ2ω2 und L3 = Θ3ω3
Θi ˙ωi + ɛijkΘkωjωk = Di , (6.83)
oder komponentenweise geschrieben auf das gekoppelte Gleichungssystem
(a) Θ1 ˙ω1 − (Θ2 − Θ3) ω2ω3 = D1
(b) Θ2 ˙ω2 − (Θ3 − Θ1) ω3ω1 = D2
(c) Θ3 ˙ω3 − (Θ1 − Θ2) ω1ω2 = D3 . (6.84)
Dies sind die Eulerschen Gleichungen des starren Körpers. Die Lösungen �ω(t) gelten im
körperfesten Koordinatensystem. Die Schwierigkeit besteht zunächst darin, die Komponenten
des externen Drehmoments � D im Hauptachsensystem zu bestimmen.
Wir betrachten daher zunächst den Fall des kräftefreien starren Körpers , d. h. � F = �0, so
dass � D = �0. In diesem Fall vereinfachen sich die Eulerschen Gleichungen (6.84) auf
(a) Θ1 ˙ω1 = (Θ2 − Θ3) ω2ω3
(b) Θ2 ˙ω2 = (Θ3 − Θ1) ω3ω1
(c) Θ3 ˙ω3 = (Θ1 − Θ2) ω1ω2 . (6.85)
6.6.1 Beispiel 1: Kräftefreier Kugelkreisel
Mit � D = �0 und Θ1 = Θ2 = Θ3 folgt aus den Gleichungen (6.85) sofort ˙ �ω = �0, d. h.
�ω = const, d. h. starre Rotation.
Dies entspricht der Bewegung des in Kap. 6.4.4 betrachteten kräftefreien Würfels um seinen
Schwerpunkt.
6.6.2 Beispiel 2: Kräftefreier symmetrischer Kreisel
Mit � D = �0 und Θ1 = Θ2 = Θ erhalten wir für Gleichung (6.85c) für die Symmetrieachse �e3:
Θ3 ˙ω3 = 0 ,
so dass ω3 = ˜ω3 = const . (6.86)
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